Tema: Ecuaciones

1. ¿Qué es una ecuación?

• Definición: Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o más variables. La ecuación establece que dos expresiones son iguales y, por lo tanto, podemos encontrar el valor de la variable que satisface esta igualdad.

• Ejemplo básico: incógnita+5=12x + 5 = 12incógnita+5=12es una ecuación porque contiene una variable (x) y un signo igual.

Partes de una ecuación

• Miembros de la ecuación: La ecuación tiene dos lados, el izquierdo (miembro izquierdo) y el derecho (miembro derecho), separados por el signo de igualdad (=).

• Variable: La letra que representa el número desconocido (en este caso,incógnitaincógnitaincógnita).

• Constantes y coeficientes: Los números que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, en2incógnita+3=112x + 3 = 112x​+3=11, el coeficiente es 2, y 3 y 11 son constantes.

2. Clasificación de Ecuaciones

a) Ecuaciones de primer grado

• Definición: Son ecuaciones en las que la variable tiene exponente 1. También se llaman ecuaciones lineales.

• Ejemplo básico: 2incógnita+3=112x + 3 = 112x​+3=11.

b) Ecuaciones de Segundo Grado

• Definición: Son ecuaciones representan donde la variable tiene exponente 2. Estas ecuaciones forman parábolas cuando se gráficamente.

• Ejemplo básico: incógnita2+5incógnita+6=0x^2 + 5x + 6 = 0incógnita2+5x​+6=0.

c) Ecuaciones con Dos o Más Variables

• Definición: Ecuaciones que contienen dos o más variables, y suelen representarse en sistemas de ecuaciones.

• Ejemplo básico: incógnita+y=5x + y = 5incógnita+y=5y2incógnita−y=32x - y = 32x​−y=3.

3. Resolución de Ecuaciones de Primer Grado

a) Ecuaciones de un paso

• Objetivo: Resolver ecuaciones simples realizando una sola operación.

• Ejemplo básico: En la ecuaciónincógnita+5=12x + 5 = 12incógnita+5=12:

  • Resto 5 en ambos lados:incógnita=12−5x = 12 - 5incógnita=12−5.

  • Resultado:incógnita=7x = 7incógnita=7.

• Ejercicio: Resolvery−4=9y - 4 = 9y−4=9.

b) Ecuaciones de dos pasos

• Objetivo: Resolver ecuaciones que requieren dos operaciones para despejar la variable.

• Ejemplo básico: En la ecuación2incógnita+3=112x + 3 = 112x​+3=11:

  • Resto 3 en ambos lados:2incógnita=82x = 82x​=8.

  • Divida entre 2 en ambos lados:incógnita=4x = 4incógnita=4.

• Ejercicio: Resolver3y−5=103y - 5 = 103 años−5=10.

c) Ecuaciones con Paréntesis (Distribución)

• Método: Usa la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y luego resuelve.

• Ejemplo básico: En3(incógnita+2)=153(x + 2) = 153 ( x+2 )=15:

  • Aplica la distribución:3incógnita+6=153x + 6 = 153 veces+6=15.

  • Resto 6 en ambos lados:3incógnita=93x = 93 veces=9.

  • Divida entre 3 en ambos lados:incógnita=3x = 3incógnita=3.

• Ejercicio: Resolver2(y+4)=162(y + 4) = 162 ( y+4 )=16.

4. Ecuaciones con Fracciones

Método para eliminar fracciones

• Paso 1: Multiplica ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para eliminar las fracciones.

• Ejemplo básico: En la ecuaciónincógnita3+2=5\frac{x}{3} + 2 = 53incógnita​+2=5:

  • Multiplica ambos lados por 3:incógnita+6=15x + 6 = 15incógnita+6=15.

  • Quedan 6 de ambos lados:incógnita=9x = 9incógnita=9.

• Ejercicio: Resolvery4−3=2\frac{y}{4} - 3 = 24y​−3=2.

5. Ecuaciones de Valor Absoluto

Definición y método

• Definición: Una ecuación de valor absoluto contiene expresiones dentro de un símbolo de valor absoluto∣⋅∣| \cdot |∣⋅∣, lo que significa que siempre se tomará el valor positivo de esa expresión.

• Ejemplo básico: Resolver∣incógnita−3∣=5|x - 3| = 5∣ x−3∣=5.

  • Crea dos ecuaciones:incógnita−3=5x - 3 = 5incógnita−3=5yincógnita−3=−5x - 3 = -5incógnita−3=− 5.

  • Soluciones:incógnita=8x = 8incógnita=8oincógnita=−2x = -2incógnita=− 2.

• Ejercicio: Resolver∣y+2∣=7|y + 2| = 7∣ y+2∣=7.

6. Ecuaciones de Segundo Grado (Básico)

Método de factorización

• Paso 1: Acomoda la ecuación en la forma generalaincógnita2+bincógnita+do=0ax^2 + bx + c = 0una x2+bx​+do=0.

• Paso 2: Encuentra dos números que al multiplicarse dendododoy al resumirlobbb.

• Ejemplo básico: Resolverincógnita2−5incógnita+6=0x^2 - 5x + 6 = 0incógnita2−5x​+6=0.

  • Factoriza:(incógnita−2)(incógnita−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0( x−2 ) ( x−3 )=0.

  • Soluciones:incógnita=2x = 2incógnita=2oincógnita=3x = 3incógnita=3.

• Ejercicio: Resolvery2+3y−10=0y^2 + 3y - 10 = 0y2+3 años−10=0.

7. Sistemas de ecuaciones

Método de sustitución

• Paso 1: Despeja una variable en una de las ecuaciones.

• Paso 2: Sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.

• Ejemplo básico: Resolver el sistema: incógnita+y=10incógnita−y=2x + y = 10 \\ x - y = 2incógnita+y=10incógnita−y=2

  • DespejaincógnitaincógnitaincógnitaEn la primera ecuación:incógnita=10−yx = 10 - yincógnita=10−y.

  • Sustituye en la segunda ecuación:10−y−y=210 - y - y = 210−y−y=2.

  • Solución parayyy:y=4y = 4y=4.

  • Sustituiry=4y = 4y=4esincógnita=10−yx = 10 - yincógnita=10−y:incógnita=6x = 6incógnita=6.

• Ejercicio: Resolver el sistema: a+b=7a−b=3a + b = 7 \\ a - b = 3a+b=7a−b=3

8. Práctica de Resolución de Ecuaciones

Ejercicios de Simplificación y Despeje

• Simplificar y resolver:

  1. 2incógnita+7=152x + 7 = 152x​+7=15

  2. 4y−8=204y - 8 = 204 años−8=20

Ejercicios con fracciones

• Resolver:

  1. incógnita2+3=7\frac{x}{2} + 3 = 72incógnita​+3=7

  2. 5y3−2=8\frac{5y}{3} - 2 = 835 años​−2=8

Ejercicios de Valor Absoluto

• Resolver:

  1. ∣incógnita+3∣=7|x + 3| = 7∣ x+3∣=7

  2. ∣2y−5∣=3|2y - 5| = 3∣2 años−5∣=3

Ejercicios de Ecuaciones de Segundo Grado

• Resolver:

  1. incógnita2−4incógnita−12=0x^2 - 4x - 12 = 0incógnita2−4x​−12=0

  2. y2+y−6=0y^2 + y - 6 = 0y2+y−6=0

Evaluación y Problemas Aplicados

• Problemas de palabras: Plan

  • "La suma de dos números es 12, y su diferencia

  • "Si triplicamos un número y luego le restamos 5, obtenemos 10. ¿Cuál es el número?"

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