Tema: Introducción al Álgebra

1. ¿Qué es el Álgebra?

• Definición: El álgebra

• Aplicaciones del álgebra: Se usa

• Ejemplo en la vida diaria: Si tienes una cantidad desconocida de dinero "x" y le sumas 5, podrías expresar el total comoincógnita+5x + 5incógnita+5.

2. Conceptos Básicos del Álgebra

a) Variables

• Explicación: Las variables son letras (comoincógnitaincógnitaincógnitaoyyy) que representan números desconocidos o cambiantes.

• Ejemplo básico: En la expresiónincógnita+3x + 3incógnita+3,incógnitaincógnitaincógnitaes la variable

b) Expresiones Algebraicas

• Definición: Una combinación de números, variables y operaciones (suma, resta, multiplicación, división).

• Ejemplo: 3incógnita+2y−53x + 2y - 53 veces+2 años−5es una expresión algebraica.

• Actividad: Pide a los estudiantes que identifiquen las variables en varias expresiones dadas, como2a+42a + 42 un+4o5y−35 años - 35 años−3.

c) Términos y Coeficientes

• Términos: Cada parte de una expresión algebraica separada por un signo de más o menos.

• Coeficiente: El número que multiplica a la variable en un término.

• Ejemplo básico: En la expresión4incógnita−7y+34x - 7y + 34x​−7 años+3, los términos son4incógnita4x4x​,−7y-7 años- 7 años, y333; los coeficientes son 4 y -7.

3. Operaciones con Álgebra

a) Suma y Resta de Términos Semejantes

• Definición: Solo se pueden sumar o restablecer términos que tengan las mismas variables elevadas a las mismas potencias.

• Ejemplo básico: 3incógnita+5incógnita=8incógnita3x + 5x = 8x3 veces+5x​=8x​, pero3incógnita+5y3x + 5 años3 veces+5 añosNo se puede simplificar porque son términos distintos.

• Ejercicio: Simplificar2a+3a−a+52a + 3a - a + 52 un+3 un−a+5.

b) Multiplicación y División de Términos Algebraicos

• Multiplicación: Multiplica los coeficientes y luego las variables.

  • Ejemplo: 2incógnita×3incógnita=6incógnita22x \times 3x = 6x^22x​×3 veces=6x​2.

• División: Divide los coeficientes y luego simplifica las variables.

  • Ejemplo: 6incógnita23incógnita=2incógnita\frac{6x^2}{3x} = 2x3 veces6x​2​=2x​.

• Ejercicio: Simplificar4y×3y4y \times 3y4 años×3 añosy10incógnita35incógnita\frac{10x^3}{5x}5x​10x​3​.

4. Ecuaciones Algebraicas Básicas

a) ¿Qué es una ecuación?

• Definición: Una ecuación es una igualdad que tiene una o más variables y que establece una relación entre ellas.

• Ejemplo básico: incógnita+3=7x + 3 = 7incógnita+3=7es una ecuación porque tiene un signo igual.

b) Resolver Ecuaciones Sencillas

• Objetivo: Encontrar el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera.

• Método: Despejar la variable realizando operaciones inversas en ambos lados de la ecuación.

  • Ejemplo básico: En la ecuaciónincógnita+5=12x + 5 = 12incógnita+5=12, restamos 5 a ambos lados para encontrarincógnita=7x = 7incógnita=7.

• Ejercicio: Resolvery−4=10y - 4 = 10y−4=10.

c) Ecuaciones con Multiplicación o División

• Ejemplo: En3incógnita=123x = 123 veces=12, divide ambos lados entre 3 para obtenerincógnita=4x = 4incógnita=4.

• Ejercicio: Resolver5y=205y = 205 años=20yincógnita4=6\frac{x}{4} = 64incógnita​=6.

5. Propiedades Importantes en Álgebra

• Propiedad conmutativa: El orden no afecta el resultado en la suma y multiplicación. Ejemplo:a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a.

• Propiedad distributiva: Multiplicar un número por una suma es igual a multiplicar el número por cada término dentro del paréntesis. Ejemplo:2(a+b)=2a+2b2(a+b) = 2a+2b2 ( un+b )=2 un+2b​.

• Ejercicio: Simplificar3(incógnita+4)3(x+4)3 ( x+4 )usando la propiedad distributiva.

6. Ecuaciones de dos pasos

• Método: Primero, realice la operación inversa de suma/resta, y luego la de multiplicación/división.

• Ejemplo: Para resolver2incógnita+3=112x + 3 = 112x​+3=11:

  1. Quedan 3 de ambos lados:2incógnita=82x = 82x​=8.

  2. Divida ambos lados entre 2:incógnita=4x = 4incógnita=4.

• Ejercicio: Resolver4y−5=154y - 5 = 154 años−5=15.

7. Despeje de Fórmulas

• Objetivo: Aislar una variable en una fórmula dada.

• Ejemplo básico: En la fórmula de área de un rectángulo,A=yo×elA = l \times wA=yo×el, si deseas despejaryoyoyo, divide ambos lados entreelelel:yo=Aell = \frac{A}{w}yo=elA​.

• Ejercicio: DespejarbbbEn la fórmulaA=12b×yoA = \frac{1}{2} b \times hA=21​b×yo.

8. Expresiones Algebraicas en Problemas de la Vida Real

• Ejemplo: Un problema de edad: “La edad de Ana es el doble de la de su hermano. Si la edad de su hermano esincógnitaincógnitaincógnita, ¿cuál es la expresión para la edad de Ana?” Respuesta:2incógnita2x2x​.

• Ejercicio: Escribir una expresión para el total de dinero que tienes si tienesincógnitaincógnitaincógnitaMonedas de 5 pesos yyyymonedas de 10 pesos.

Práctica y evaluación

• Simplificación de Expresiones: Simplificar5a+3a−2a5a + 3a - 2a5 un+3 un−2 un.

• Resolución de Ecuaciones: Resolverincógnita+7=14x + 7 = 14incógnita+7=14.

• Despeje de Fórmulas: Despejaryoyoyoen la fórmula de área de un triánguloA=12b×yoA = \frac{1}{2} b \times hA=21​b×yo.

• Problemas de aplicación: Escribe y simplifica la expresión para el área de un jardín rectangular que tiene una longitud deincógnita+3x + 3incógnita+3metros y un ancho deincógnitaincógnitaincógnitametros.

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