Horário: 2as e 4as, 13h-15h

Ementa:

1. Variedades Diferenciáveis: aplicações diferenciáveis, espaço tangente, campos vetoriais, orientação, variedades com bordo;
2. Formas Diferenciáveis: integração em variedades, Teorema de Stokes;
3. Geometria Diferencial de superfícies; Teorema de Gauss-Bonnet.

Avaliação: haverá listas de exercícios e duas provas parciais; cada lista de exercícios será disponibilizada nesta página, bem como a sua data de entrega; as provas parciais serão presenciais; as listas de exercícios valerão 20% da nota final e cada prova parcial valerá 40% da nota final.

Bibliografia:

1. do Carmo, M. - Formas Diferenciais e Aplicações, SBM (livro-texto)
2. Lee, J.M. - Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer;
3. Lima, E. L. - Curso de Análise vol. 2, IMPA;
4. Munkres, J. R. - Analysis on Manifolds, Advanced Book Classics; Spivak, M. - O Cálculo em Variedades, Editora Ciência Moderna;

Provas Parciais (datas previstas):

• 09/10 (quarta-feira)
• 02/12 (quarta-feira) [atualizada]

Listas de Exercícios:

• Lista 1: Cap 1 - 5, 8, 9, 13 e 14; Cap 2 - 6, 7 e 9

data de entrega: 18/09

• Lista 2: Cap 3 - 1, 2, 5, 6, 7, 12, 13 e 14

data de entrega: 08/10 [data alterada]

• Lista 3: lista enviada por email + Cap 4 - 2, 5

data de entrega: 01/11

• Lista 4: Cap 4 - 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13

data de entrega: 13/11

• Lista 5: Cap 5 - 1, 3 e 4 [atualizado 25/11]

data de entrega: 02/12

Sumários:

• 02/09 - Formas diferenciais em Rn: soma, produto exterior e propriedades.
• 04/09 - Formas diferenciais em Rn: pullback e derivada exterior
• 06/09 - Formas diferenciais em Rn: exercícios
• 09/09 - Formas diferenciais em Rn: exercícios; Integrais de linha: definição e algumas propriedades.
• 11/09 - Integrais de linha: formas exatas e fechadas; Lema de Poincaré para 1-formas; condições suficientes para formas fechadas serem globalmente exatas.
• 13/09 - Integrais de linha: condições suficientes para formas fechadas serem globalmente exatas (cont.); elemento ângulo e índice de função (de um aberto em R2 para R2) num disco.
• 16/09 - Integrais de linha: zeros simples e índice; Variedades diferenciáveis: definicão de variedade diferenciável, estruturas diferenciáveis, axiomas topológicos.
• 18/09 - Variedades diferenciáveis: plano projetivo real (e espaço projetivo real), aplicações diferenciáveis, vetores tangentes e derivada.
• 23/09 - Variedades diferenciáveis: difeomorfismo (global e local), fibrado tangente (estrutura diferenciável), imersões e mergulhos (definição e exemplos).
• 25/09 - Variedades diferenciáveis: superfícies regulares, plano projetivo revisitado.
• 30/09 - exercícios; Variedades diferenciáveis: imersão (mergulho) do plano projetivo em R4; A Garrafa de Klein.
• 02/10 - Variedades diferenciáveis: variedades orientáveis; formas diferenciais em variedades; campos vetorias em variedades; colchete de dois campos; expressão da derivada exterior de uma forma utilizando o colchete.
• 07/10 - exercícios e esclarecimento de dúvidas.
• 09/10 - primeira prova parcial
• 14/10 - Conjunto dos campos vetoriais diferenciáveis como álgebra de Lie; push-forward de um campo vetorial por um difeomorfismo; curva integral; fluxo local; derivada de Lie de uma função; derivada de Lie de um campo; derivada de Lie de uma k-forma; propriedades.
• 16/10 - Campos vetoriais completos; fluxos que comutam; Integração em variedades: Integração de formas diferenciais.
• 21/10 - exercícios; Teorema de Stokes: variedades diferenciáveis com bordo
• 23/10 - dúvidas; Teorema de Stokes: variedades diferenciáveis com bordo (cont.)
• 30/10 - dúvidas; Teorema de Stokes: demonstração
• 01/11 - Teorema de Stokes: Teorema da divergência; Lema de Poincaré
• 04/11 - Teorema de Stokes: Teorema do ponto fixo de Brouwer, exercícios
• 06/11 - Geometria Diferencial em Superfícies: equações de estrutura de Rn.
• 11/11 - revisões; Geometria Diferencial em Superfícies: equações de estrutura de Rn (cont.)
• 18/11 - Geometria Diferencial em Superfícies: superfícies em R3
• 25/11 - exercícios
• 02/12 - segunda prova parcial