Horário: 2as e 4as, 13h-15h

Pré-requisitos (não formais): Cálculo Avançado

Ementa:

1. Variedades Diferenciáveis: aplicações diferenciáveis, espaço tangente, campos vetoriais, orientação, variedades com bordo
2. Formas Diferenciáveis: integração em variedades, Teorema de Stokes
3. Aplicações

Avaliação: haverá listas de exercícios e duas provas parciais; cada lista de exercícios será disponibilizada nesta página, bem como a sua data de entrega; as provas parciais serão presenciais; as listas de exercícios valerão 30% da nota final e cada prova parcial valerá 35% da nota final.

Datas das provas parciais (previstas): 7 de Maio (P1) e 25 de Junho (P2)

Bibiliografia básica:

1. do Carmo, M.P., Formas Diferenciais e Aplicações, Coleções Fronteiras da Matemática, SBM (livro-texto)
2. Godinho, L., Natário J., Introduction to Riemannian Geometry with Applications to Mechanics and Relativity, Springer
3. Lee, J.M., Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer

Bibliografia Complementar:

1. Lima, E. L., Curso de Análise Vol. 2, Projeto Euclides
2. Munkres, J. R., Analysis on Manifolds, Advanced Book Classics
3. Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish, Inc.
4. Spivak, M., O Cálculo em Variedades, Editora Ciência Moderna
5. Warner, F., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag

Listas de exercícios (LE)

• LE1 (data de entrega: 26/03)

exercícios: 2, 4, 5, 6, 7, 13 e 14 (livro-texto: cap. 1)

• LE2 (data de entrega: 11/04)

exercícios: 2, 3, 6, 7, 9 e 10 (livro-texto: cap. 2)

• LE3 (data de entrega: 09/05)

exercícios: 2, 3, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16 (livro-texto: cap. 3)

• LE4 (data de entrega: 25/06)

exercícios: 1-5, 9-11, 13- 16 (livro-texto: cap. 4)

Sumários:

• 05/03: Formas Diferenciais em Rn (cap 1): espaço tangente, espaço dual, forma exterior em Rn, produto exterior.
• 07/03: Formas Diferenciais em Rn (cap 1): pullback (de formas por meio de aplicações), derivada exterior.
• 12/03: Formas Diferenciais em Rn (cap 1): discussão de exercícios.
• 19/03: Formas Diferenciais em Rn (cap 1): discussão de exercícios.
• 21/03: Formas Diferenciais em Rn (cap 1): discussão de exercícios.
• 26/03: Integrais de linha (cap2): definição; 1-formas exatas e fechadas; caracterização de 1-formas exatas usando integrais de linha; formas localmente exatas.
• 02/04: Integrais de linha (cap2): número de voltas; Lema de Poincaré para 1-formas; integral de 1-formas fechadas em curvas contínuas; invariância de integrais de 1-formas fechadas ao longo de curvas homotópicas; formas fechadas em domínios simplesmente conexos; definição e interpretação geométrica do índice n(F;D) de uma aplicação num disco.
• 04/04: Integrais de linha (cap2): relação entre índice n(F;D) e existência de zeros de F; o índice n(F;D) como diferença de zeros positivos e zeros negativos de F; discussão de exercícios.
• 11/04: Integrais de linha (cap2): discussão de exercícios; Variedades Diferenciáveis (cap3): superfície regular em R3; definição de variedade diferenciável (Hausdorff com base enumerável); topologia na variedade induzida pela estrutura diferenciável.
• 16/04: Variedades Diferenciáveis (cap3): o plano projetivo real e o espaço projetivo real; a garrafa de Klein.
• 18/04: Variedades Diferenciáveis (cap3): aplicação diferenciável; vetor tangente a uma curva; vetor tangente a uma variedade; espaço tangente a uma variedade num ponto; a diferencial de uma aplicação;teorema da aplicação inversa.
• 23/04: Variedades Diferenciáveis (cap3): o toro; fibrado tangente; imersão; mergulho; subvariedades; exemplos.
• 24/04: Variedades Diferenciáveis (cap3): superfícies regulares de Rn; plano projetivo revisitado; imersão do plano projetivo em R4.
• 25/04: Variedades Diferenciáveis (cap3): forma diferencial; campo vetorial; colchete de campos vetoriais; uma relação entre diferenciação de formas e colchete de campos.
• 02/05: Variedades Diferenciáveis (cap3): discussão de exercícios.
• 07/05: primeira prova
• As aulas estão sendo asseguradas pelo Prof. Apoenã Passos Passamani.