PROJE ADI: Genelleştirilmiş Markov sayıları ve q-deformasyonlarının çalışılması
YÜRÜTÜCÜ: Ezgi Kantarcı Oğuz
EV SAHİBİ KURUM: Galatasaray Üniversitesi
TARİH: 01/10/2023- 01/10/2026
DESTEK: Tübitak Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Projelerini Destekleme Programı, 1001#123F121
ALANLAR: Kombinatorik (Kısmi Sıralı Kümeler, Dağılmalı Latisler),
Cebir (Klaster Cebirleri, Temsil Teorisi)
Sayı Teorisi (Sürekli Kesirler, Rasyonellerle Yaklaşımlar, Lagrange ve Markov Spektrumları, q-sayılar)
x2+y2+z2=3xyz Diofant denklemini çözen pozitif tamsayı üçlüleri Markov üçlüsü adını alıyor, bu üçlüde yer alan sayıların her birine ise Markov sayısı diyoruz.
Markoff tarafından kuadratik formları çalışmak için tanımlanan Markov üçlülerinin maksimumları, kuadratik formların minimumlarıyla birebir eşleşiyorlar. Frobenius, 1913’te bu maksimumların aslında doğrudan Markov sayıları olduğunu öne sürdü.
Teklik Sanısı (Frobenius, 1913) : Her Markov sayısı, tam bir adet Markov üçlüsünün maksimumudur.
Markov sayılarının tüm çözümleri (1,1,1) çözümünden (a,b,c)→(a,b,4ab-c) şeklinde işlemlerle elde edebiliyor ve ikili bir ağaç yapısı oluşturuyorlar. Bu yapı kombinatorik olarak klaster cebir mutasyonları, kuiver temsilleri, sürekli kesiler ve paravan diyagramları ile de eşleşiyor.
Son yıllarda bu birbirine bağlı alanlarda olan gelişmeler 100 yıldan fazladır açık olan bu soruyla ilgilenmek için yeni araçlar sahibi olmamızı sağladılar. 2020 yılında sürekli kesirler kullanılarak verilen q-rasyonel sayılar ile, Markov sayıları için doğal bir q-analog tanımlandı (Kogiso, 2020, Leclere ve Morier-Genoud, 2021) İkinci makaledeki açık bir soru başvuru sahibi tarafından yönlü sıralı küme isimli yeni bir araç geliştirerek çözümlendi ve Markov sayılarının q-deformasyonları için döngüsel paravan diyagramları kullanılarak kombinatorik bir model verildi (Kantarcı Oğuz 2022). Klaster cebirleri tarafında ise, orbifold üçgenlemeleri kullanılarak genelleştirilmiş Markov sayıları tanımlandı ve klasik duruma benzer özellikler gözlemlendi (Gyoda, 2021, Banaian ve Sen, 2022). Daha yeni bir gelişme olarak, geçtiğimiz ay tamsayı dizilerin gölgeleri kullanılarak Markov denkleminin bir süper analoğu verildi (Bonin ve Ovsienko, 2023).
Projede dört ana problemle ilgileniyoruz:
Problem 1: Klaster cebirlerindeki poset ve T-yolları hesaplarının orbifoldlara genişletilmesi ve genelleştirilmiş Markov sayıları için kombinatorik bir model oluşturulması.
Problem 2: Genelleştirilmiş Markov sayılarının q-deformasyonlarının çalışılması.
Problem 3: Dual Markov sayıları için kombinatorik bir model geliştirilmesi.
Problem 4: Frobenius’un Teklik Sanısı ve Genelleştirmelerinin İncelenmesi.
Anahtar Kelimeler: Diofant denklemi, Markov sayısı, klaster cebiri, kuiver temsili, q-tamsayı, paravan diyagramı