PDEs in der Mathematischen Physik [NAT5028b] SoSe 2024

Das Modul Partielle Differentialgleichungen in der Mathematischen Physik soll einen ersten Einblick in das sehr umfangreiche Feld der partiellen Differentialgleichungen geben. Der Fokus liegt dabei auf der Erarbeitung von Strategien zur qualitativen Analyse von Lösungen einiger spezieller PDEs, welche auch in der Physik auftreten.

Der Inhalt wird der Folgende sein:

1. Einführung & Erste Beispiele

• Grundlegendes zur Notation

• Stationäre Gleichungen und Evolutionsgleichungen

• Einfache Beispiele für PDEs

2. Klassische Lösungstheorie

• Harmonische Funktionen, Poisson-Gleichung, Greens-Funktionen

• Wärmeleitungsgleichung

• Wellengleichung

3. Variationsrechnung

• Beispiele und Gegenbeispiele zur Minimierung von Funktionalen

• Schwache Konvergenz, Satz von Banach-Alaoglu

• Minimierung von Funktionalen

4. PDEs 1. Ordnung

• Methode der Charakteristiken

• Transport- und Kontinuitätsgleichung

• Hamilton-Jacobi-Gleichung

• Einblick in die Theorie der conservation laws

5. Schwache Lösungstheorie

• Sobolev-Räume

• Lineare elliptische PDEs

Inhaltlich vorausgesetzt werden solide Vorkenntnisse aus den Vorlesungen

• Lineare Algebra für Physik [MA9201]

• Analysis 1 für Physik [MA9202]

• Analysis 2 für Physik [MA9203]

• Analysis 3 für Physik [MA9204]

Studierende anderer Fachrichtungen entnehmen die vorausgesetzten Vorkenntnisse den jeweiligen Modulhandbüchern. Vorwissen über PDEs in der Theoretischen Physik kann nützlich sein, wird aber nicht vorausgesetzt. Kenntnisse in Experimentalphysik sind nicht notwendig.

• Lawrence C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics

• David Gilbarg; Neil S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag

• tba

An geeigneten Stellen werden auch im Moodle-Kurs Hinweise zu weiterer Literatur gegeben.