Mathematische Physik 1 [NAT9010] SoSe 2024

Das Modul Mathematische Physik soll im Kontrast zu den üblichen Physikvorlesungen einen mathematisch rigorosen Zugang zur Quantentheorie ermöglichen. Dazu erarbeiten wir zunächst Grundlagen in Maß- und Integrationstheorie. Daran schließt sich eine längere mathematische Einführung in die Funktionalanalysis an. In dieser werden immer wieder die Zusammenhänge zur Theoretischen Physik betont. Im Anschluss behandeln wir verschiedene Anwendungen des Formalismus in der Mathematischen Physik.

Damit eignet sich die Vorlesung insbesondere für mathematisch interessierte Physikstudierende ab dem vierten Semester.

Der Inhalt wird der Folgende sein:

1. Maß- & Integrationstheorie

• Sigma-Algebren und Maße

• Lebesgue-Maß und Integral

• L^p-Räume und Konvergenzbegriffe

2. Funktionalanalysis auf Banachräumen

• Normierte Räume, Banachräume, Funktionale und Operatoren auf Banachräumen

• Hauptsätze für Operatoren auf Banachräumen (Offene Abbildung, Abgeschlossener Graph, Banach-Steinhaus)

3. Die fünf Axiome der Quantenmechanik

4. Funktionalanalysis auf Hilberträumen

• (Prä-) Hilberträume, Orthogonalität, Orthonormalbasen und beschränkte Operatoren auf Hilberträumen

• Darstellungssatz von Fréchet-Riesz, Satz von Radon-Nikodym, Satz von Lax-Milgram, Bra-Ket-Notation

5. Spektraltheorie beschränkter Operatoren

• Grundbegriffe der Spektraltheorie (Punkt-, kontinuierliches und Restspektrum)

• Spektrum selbstadjungierter Operatoren

• Spektralsatz für kompakte, selbstadjungierte Operatoren

6. Unbeschränkte Operatoren

• Begrifflichkeiten (Definitionsbereiche, hermitesch/selbstadjungiert/wesentlich selbstadjungiert, abgeschlossene Operatoren, Fortsetzung von Operatoren), Satz von Hellinger-Toeplitz

• Diskussion der Operatoren der Quantentheorie (Orts-/Impuls-/Schrödinger-Operatoren)

7. Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren

• Spektralmaße, Integration bezüglich Spektralmaßen

• Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren

• Spektrum des freien Schrödinger-Operators

8. Satz von Stone

• Einparametergruppen stark stetiger, unitärer Operatoren

• Satz von Stone

• Beweis der Schrödinger-Gleichung

• Konstruktion quantenmechanischer Observablen (Ort/Impuls/Drehimpuls)

9. Quantenmechanischer harmonischer Oszillator

Inhaltlich vorausgesetzt werden Vorkenntnisse aus den Vorlesungen

• Lineare Algebra für Physik [MA9201]

• Analysis 1 für Physik [MA9202]

• Analysis 2 für Physik [MA9203]

• Analysis 3 für Physik [MA9204]

Studierende anderer Fachrichtungen entnehmen die vorausgesetzten Vorkenntnisse den jeweiligen Modulhandbüchern. Der parallele Besuch der Vorlesung Theoretische Physik 3 [PH0007] ist empfehlenswert. Kenntnisse in Experimentalphysik sind nicht notwendig.

Es gibt kein Lehrbuch, welches 1:1 den Inhalt der Vorlesung Mathematische Physik 1 abdeckt.

Entsprechend der behandelten Themenblöcke gibt es aber u.a. folgende Nachschlagewerke:

1. Maß- & Integrationstheorie

• M. Brokate, G. Kersting: Maß und Integral

• J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (Geht weit über die Vorlesung hinaus)

2. Funktionalanalysis

• D. Werner: Funktionalanalysis

• J. B. Conway: A course in functional analysis

An geeigneten Stellen werden auch im Moodle-Kurs Hinweise zu weiterer Literatur gegeben.