Mathematische Physik 2 [NAT3032] WiSe 2024/25

Das Modul Mathematische Physik 2 soll im Kontrast zu den üblichen Physikvorlesungen einen mathematisch rigorosen Zugang zur Quantentheorie ermöglichen, außerdem werden die mathematischen Grundlagen der Differentialtopologie in verschiedenen Ausprägungen studiert, welche in vielen Gebieten der Physik eine Rolle spielt. Dabei werden wir einen direkten Zugangsweg wählen, welcher ohne die abstrakten Details aus der algebraischen Topologie auskommt.

Damit eignet sich die Vorlesung insbesondere für mathematisch interessierte Physikstudierende ab dem fünften Semester.

Der Inhalt wird der Folgende sein:

1. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

• Wahrscheinlichkeitsräume (Sigma-Algebren & Maße, Bsp. für diskrete & kont. W-Räume, Bedingte Wsk. & Unabhängigkeit, Produkträume)

• Zufallsvariablen (Begriffsbildung, Bildmaße, Verteilung & Verteilungsfunktion, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen)

• Erwartungswert (Wdh. Lebesgue-Integral, Definition, (Konzentrations-)Ungleichungen, Varianz & Kovarianz)

• Konvergenz von Zufallsvariablen (Schwaches/Starkes Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz)

• Statistische Mechanik: Random Energy Model

2. Quanteninformationstheorie

• Mathematische Beschreibung von Experimenten mittels Präparation (Dichteoperator), Messung (POVM) und Wahrscheinlichkeiten (Born's rule), Observablen, Erwartungswerte

• Unschärferelationen (Robertson, Mandelstam-Tamm, Margolus-Levitin)

• Gemeinsame Messbarkeit

• Zusammengesetzte Systeme (Direkte Summe, Tensorprodukt, Schmidt-Zerlegung, Reduzierte Dichteoperatoren, Purifizierung)

• Korrelationen und Verschränkung

• Entropie (Definition, Gibbs-Zustände, Passive Zustände, Area laws, Landauer-Schranken)

• Quantenkanäle (Begriffsbildung, Bausteine, Zerlegungssätze von Stinespring & Kraus, Krausoperatoren, No-cloning-Theorem, Messinstrumente, No Information without Disturbance,  Quantenmechanische Zeitentwicklung)

• Quanten-Hypothesentests

3. Differentialtopologie und Differentialformen

• Topologische Räume

• Topologische & differenzierbare Mannigfaltigkeiten

• Tangentialbündel

• Alternierende Multilinearformen

• Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

• Orientierbare Mannigfaltigkeiten

• Integration auf Mannigfaltigkeiten, allgemeiner Integralsatz von Stokes

• Anwendungen des Formalismus in Elektro- & Thermodynamik

• De Rham-Kohomologie (je nach verbleibender Zeit)

Zwingend erforderlich sind: Lineare Algebra für Physik [MA9201], Analysis 1 für Physik [MA9202], Analysis 2 für Physik [MA9203], Analysis 3 für Physik [MA9204] oder äquivalent Analysis 1-3 und Lineare Algebra 1-2 für Mathematikstudierende.

Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist Vertrautheit mit Maß- und Integrationstheorie, wie sie in Mathematischer Physik 1 [NAT9010] gelehrt wird, zwingend erforderlich. Die Quanteninformationstheorie benötigt Vorkenntnisse der Hilbertraumtheorie beschränkter Operatoren. Diese wird bspw. in Analysis 3 für Physik, Funktionalanalysis oder Mathematischer Physik 1 behandelt. In der Differentialtopologie wird der Mannigfaltigkeitsbegriff aus der Analysis 2 auf topologische Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Es ist ausgesprochen nützlich, den Spezialfall aus Analysis 2 gut verstanden zu haben. Im Rahmen der Differentialformen wird der allgemeine Satz von Stokes behandelt, wo erneut die Kenntnis des Spezialfalls aus Analysis 3 hilfreich ist.

Vorkenntnisse in Theoretischer Physik werden nicht vorausgesetzt, können aber an manchen Stellen das Verständnis erleichtern. Kenntnisse in Experimentalphysik sind nicht notwendig.

Es gibt kein Lehrbuch, welches 1:1 den Inhalt der Vorlesung Mathematische Physik 2 abdeckt.

Entsprechend der behandelten Themenblöcke gibt es aber u.a. folgende Nachschlagewerke:

1. Wahrscheinlichkeitstheorie

• G. Kersting, A. Wakolbinger: Elementare Stochastik

2. Quanteninformationstheorie

• T. Heinosaari & M. Ziman, The Mathematical Language of Quantum Theory (This book was published in arXiv and can be found here)

• M. Nielsen & I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information

3. Differentialtopologie, Differentialgeometrie und Differentialformen

• M. Hirsch: Differential Topology

• I. Agricola & T. Friedrich: Vektoranalysis (Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik)

An geeigneten Stellen werden auch im Moodle-Kurs Hinweise zu weiterer Literatur gegeben.