Mathematische Physik 2 [NAT5028b] WiSe 2023/24

Die Module Mathematische Physik 1 & 2 sollen im Kontrast zu den üblichen Physikvorlesungen einen mathematisch rigorosen Zugang zur Quantentheorie ermöglichen. Dazu erarbeiten wir in Mathematische Physik 1 (Sommersemester) zunächst Grundlagen in Maß- und Integrationstheorie und Distributionentheorie. Daran schließt sich eine längere mathematische Einführung in die Funktionalanalysis an. In dieser werden immer wieder die Zusammenhänge zur Theoretischen Physik betont. In Mathematische Physik 2 (Wintersemester) werden wir zunächst Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie einführen um dann den modernen Zugangsweg zur Beschreibung von Quantenphänomenen in einem möglichst allgemein gehaltenen mathematischen Setup zu bestreiten. So können wir dann über einige einführende Aspekte der Quanten-Informationstheorie reden.

Damit eignen sich die beiden Vorlesungen insbesondere für mathematisch interessierte Physikstudierende ab dem vierten Semester. Vor allem für Interessierte der Quantenwissenschaften (quantum computing, quantum matter, quantum optics, ...) bieten die Module eine fundierte Grundlage, von der aus der Einstieg in viele weitere Themen einfacher fallen wird.

Der Inhalt wird der Folgende sein:

1. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

• Wahrscheinlichkeitsräume & Zufallsvariablen

• Elementare Ungleichungen

• Bedingte Wahrscheinlichkeit & Unabhängigkeit, Markovketten

• Konvergenz von Zufallsvariablen (Schwaches/Starkes Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz)

2. Mathematische Quantenmechanik

• Mathematische Beschreibung von Experimenten mittels Präparation (Dichteoperator), Messung (POVM) und Wahrscheinlichkeiten (Born's rule)

• Observablen, Erwartungswerte, Unschärferelationen, gemeinsame Messbarkeit

• Zusammengesetzte Systeme, Tensorprodukt, Schmidt-Zerlegung, Purifizierung

3. Quanteninformationstheorie

• Entanglement

• LHV-Modelle, Bell-Ungleichungen

• Unmögliche Maschinen

• Quantenkanäle, Zeitentwicklung im Schrödinger- & Heisenbergbild, Zerlegungssätze von Stinespring & Kraus, Krausoperatoren, No-cloning/No-signalling-Theorem

Inhaltlich vorausgesetzt werden Vorkenntnisse aus den Vorlesungen

• Lineare Algebra für Physik [MA9201]

• Analysis 1 für Physik [MA9202]

• Analysis 2 für Physik [MA9203]

• Analysis 3 für Physik [MA9204]

• Mathematische Physik 1 [NAT9010]

Studierende anderer Fachrichtungen entnehmen die vorausgesetzten Vorkenntnisse den jeweiligen Modulhandbüchern. Kenntnisse aus den Vorlesungen Theoretische Physik 1 [PH0005], Theoretische Physik 2 [PH0006] und Theoretische Physik 3 [PH0007] sind gelegentlich hilfreich, jedoch nicht zwingend erforderlich. Der parallele Besuch der Vorlesung Theoretische Physik 4 [PH0008] ist empfehlenswert. Kenntnisse in Experimentalphysik sind nicht notwendig.

Es gibt kein Lehrbuch, welches 1:1 den Inhalt der Vorlesung Mathematische Physik 2 abdeckt.

Entsprechend der behandelten Themenblöcke gibt es aber u.a. folgende Nachschlagewerke:

1. Wahrscheinlichkeitstheorie

• G. Kersting, A. Wakolbinger: Elementare Stochastik

2. Mathematische Quantenmechanik

• T. Heinosaari & M. Ziman, The Mathematical Language of Quantum Theory (This book was published in arXiv and can be found here)

3. Quanteninformationstheorie

• M. Nielsen & I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information

An geeigneten Stellen werden auch im Moodle-Kurs Hinweise zu weiterer Literatur gegeben.