Algebraische Topologie [NAT3068] SoSe 2026

Das Modul Algebraische Topologie soll eine vertiefte Einführung in die Thematik geben. Nach einer kurzen Einführung in die topologischen und algebraischen Grundlagen behandeln wir etwas Kategorientheorie und wenden uns dann der Homotopie- sowie der Homologietheorie zu. Das Ziel gegen Ende des Semesters ist die Behandlung von Differentialformen aus Sicht der Algebraischen Topologie.

Die Zielgruppe sind Mathematik-/Physikstudierende im fortgeschrittenen Bachelor- oder Masterstudium.

Der Inhalt wird der Folgende sein:

• Wiederholung zu algebraischen Grundlagen (Gruppentheorie, Ringtheorie, Moduln über Ringe)

• Wiederholung zu topologischen Grundlagen (Mengentheoretische Topologie, Konstruktion top. Räume, Kompaktheit, Zusammenhang)

• Einführung in die Kategorientheorie

• Homotopietheorie und die Fundamentalgruppe

• Homologietheorie

• Singuläre Homologie, Kettenkomplexe, ....

• tba

Zwingend erforderlich ist: Lineare Algebra für Physik [MA9201] oder äquivalent Lineare Algebra 1-2 für Mathematikstudierende.

Tiefgehende Vorkenntnisse aus Algebra/Topologie sind nicht nötig und die fortgeschritteneren Werkzeuge die wir benötigen, werden vorlesungsbegleitend eingeführt. Das Ziel besteht vor allem darin, komplizierte topologische Fragestellungen mit einfachen Mitteln aus der Algebra zu studieren. Dafür benötigt es vergleichweise wenig Algebra und vergleichsweise viel Topologie. Wer bereits Kontakt mit Differentialformen hatte, wird in der zweiten Semesterhälfte einiges von einem höheren Standpunkt aus wiedererkennen.

Vorkenntnisse in Physik werden nicht vorausgesetzt. 

Begleitende/Ergänzende Literatur zur Vorlesung:

1. Holger Kammeyer: Introduction to Algebraic Topology

2. Tim Netzer: Algebraische Topologie (Skriptum der Universität Innsbruck)

3. Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology