Embedded Files
Todennäköisyyksien laskeminen on monelle hyvin vaikeaa, koska tilanteet ja sen myötä laskutavat vaihtelevat jatkuvasti. Yleisimpiä käytettäviä tekniikoita ovat kaikkien tapausten luettelointi (ml. kombinatoriikka, mikä sekään ei ole helppoa), vastakohdan eli komplementtitapauksen hyödyntäminen, binomitodennäköisyys ja todennäköisyyksien kertolasku p(A)*p(B), kun halutaan tapahtuvan A JA B.
Aikataulu 2022
Aikataulu 2022
11. - 22.4. Kombinatoriikka 3 + 3 + 13
11. - 22.4. Lotto ja Pokeri 0 + 0 + (15)
25.4. Binomitodennäköisyys 0 + 6 + 0
2.5. Odotusarvo 0 + 5 + 1
Pistetehtävä pe 13.5. klo 20.00
3.5. - 13.5. Klassinen todennäköisyys 13 + (39)
Tiistai 17.5. klo 13.30-14.45 MAA10.5 (rivin 2 tunti)
16.5. - 19.5. MAA10-2 Tilastot
23.5. Kertaustehtäviä 5 + 3 + (34)
Kurssin sisältö
Kurssin sisältö
Tehtäviä: 3 + 3 + 13
Tehtäviä: 0 + 0 + (15)
Tehtäviä: 0 + 6 + 0
Tehtäviä: 0 + 5 + 1
Tehtäviä: 13 + (39)
Tehtäviä: 5 + 3 + (34)
1. Kombinatoriikka
1. Kombinatoriikka
Pro Tip - Luettele
Pro Tip - Luettele
Kombinatoriikan neljä menetelmää eivät korvaa luettelointia. Usein on vain käytävä eri tapauksia läpi tyyliin "siinä voi käydä näin tai näin tai sit näin, ja mä haluun et siinä käy näin tai näin".
Ajattelu on sallittua ja todennäköisyyslaskennassa kiusallisen usein jopa pakollista.
Kombinatoriikka tarkoittaa lukumäärien laskemista. Se on myös keino tehdä todennäköisyyslaskuja, jos kyetään laskemaan suotuisten tapausten lukumäärän suhde kaikkiin mahdollisiin tapauksiin.
Neljä menetelmää
Neljä menetelmää
Yhdistelmien kertolasku
Erilaiset jonot (permutaatio) a!
Osajoukon valinta (kombinaatio) nCr(a,b)
Järjestetyn osajoukon valinta (variaatio) nPr(a,b)
Aika usein toimivin keino on tehdä luettelo
SpeedCrunch
SpeedCrunch
SpeedCrunch käyttää komennoissa lukujen erottimena puolipistettä eikä pilkkua.
Kombinatoriikka (=lukumäärien laskeminen).pdf1. Tehtävät
1. Tehtävät
2. Lotto ja Pokeri
2. Lotto ja Pokeri
3. Binomitodennäköisyys
3. Binomitodennäköisyys
Binomitodennäköisyydeksi sanotaan toistokoetta, missä jokin asia tapahtuu täsmälleen k kertaa ja vaihtoehtoja on vain kaksi eli että haluttu asia joko tapahtuu tai ei tapahdu.
Jos halutun tapahtuman todennäköisyys on p, sen vastatapahtuman eli komplementtitapahtuman todennäköisyys on 1-p.
Jos vain yksi tapaus
Jos vain yksi tapaus
Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan viidellä nopalla tasan yksi kuutonen?
Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan viidellä nopalla tasan kaksi kuutosta?
Jos pitää laskea yhteen monta tapausta
Jos pitää laskea yhteen monta tapausta
Monivalintakokeessa on 30 kysymystä, joista jokaisessa on neljä vaihtoehtoa, joista vain yksi on oikein. Millä todennäköisyydellä arvaamalla saa enintään 10 oikein?
NSPIRE: Sigma() tai binomCdf()
NSPIRE: Sigma() tai binomCdf()
tai
GEOGEBRA: Binomijakauma
GEOGEBRA: Binomijakauma
3. Tehtävät
3. Tehtävät
4. Odotusarvo
4. Odotusarvo
Pro Tip - Ajattelu on joskus sallittua
Pro Tip - Ajattelu on joskus sallittua
Jos opiskelija myöhästyy 40 % todennäköisyydellä, mikä on odotusarvo monenako aamuna hän myöhästyy viisipäiväisenä kouluviikkona? 40 % viidestä on 2 eli odotusarvo on 2.
Odotusarvo on suunnilleen sama asia kuin keskiarvo, mikä on ikään kuin "odotettavissa oleva, todennäköisin tulos" tai miten jossakin "keskimäärin käy."
Odotusarvo saadaan laskemalla summa siitä, kun jokainen mahdollinen tilanne (x) kerrotaan omalla todennäköisyydellään (p).
Odotusarvon yleinen kaava
Odotusarvon yleinen kaava
4. Tehtävät
4. Tehtävät
5. Klassinen todennäköisyys
5. Klassinen todennäköisyys
Mukana on myös joitakin geometrisen ja tilastollisen todennäköisyyden tehtäviä.
Pro Tip - Pilko osiin ja konkretisoi
Pro Tip - Pilko osiin ja konkretisoi
Todennäköisyyslaskenta on usein yksinkertaistamisen taidetta, missä yksinkertaiselta vaikuttava asetelma puretaan vielä yksinkertaisempiin ja konkreettisempiin osiin, "väännetään rautalangasta".
Jos nopalla pitää saada vähintään nelonen, mitä nopalla pitää silloin saada?
Jos heitettäessä kolmea kolikkoa halutaan vähintään kaksi klaavaa, mitä milläkin kolikolla pitää silloin tulla?
Jos nostettaessa kaksi korttia niiden pitää olla samaa maata, mitä korttien pitää silloin olla?
Kun lasketaan todennäköisyys sille, että tapahtuu useampi toisistaan riippumaton asia (kuten kaksi nopanheittoa), niiden todennäköisyydet kerrotaan keskenään. Eli kun pitää tapahtua A JA B, sen todennäköisyys on P(A) kertaa P(B).
Ajattelumalleja
Ajattelumalleja
Jossittele ("jos tapahtuu ensin näin, niin sitten näin")
Mieti ensin yksittäistapausta.
Luetteloi eri tilanteet.
KOMPLEMENTTITAPAUS = Laske ensin kysytyn asian "vastakohta."
"Ihan sama!", "Ekalla ei mitään väliä."
Piirrä. (laatikoita, palloja, kirjaimia "puu", venn-diagrammi)
5. Tehtävät
5. Tehtävät
Google Sites
Report abuse