MAA7

MAA7 INTEGRAALILASKENTA

Kurssin sisältö ja aikataulu 2026

Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio eli "derivointia takaperin". Teknisesti se on huomattavasti hankalampaa kuin derivointi, joskus jopa mahdotonta. Integroinnin sovellukset liittyvät matematiikassa yleensä geometriaan, koska sen avulla voidaan laskea pinta-aloja ja tilavuuksia.

1. Integrointi

1. Tehtävät

2. Pinta-ala ja tilavuus

2. Tehtävät

3. Numeerinen integrointi

3. Tehtävät

I VIIKKO

Integrointi 6 + 12 + 11

Käänteisluvut
Määrätty integraali

Negatiivinen eksponentti

II VIIKKO

Murtolausekkeiden integrointi

Kerto- ja jakolaskun ja sisäfunktion ongelma x
Hankalia integraaleja (Chain Rule)

Hiihtoloma ⛷

III VIIKKO

Constant

Itseisarvo, määrätty integraali
Kikkailu, määrätty integraali

Calculus Rhapsody

"Add a constant"

Etäpäivät

ti 10.3. (tehtävä)
pe 13.3. (tehtävä)
ke 18.3. (tehtävä)

IV VIIKKO (3.3. alkaen)

Pinta-ala ja tilavuus 12 + 12 + 17

kahden käyrän välinen pinta-ala

pyörähdyskappale ja käyrän piirtäminen laskimella

V VIIKKO

integrointi y-akselin suhteen ("käänteisfunktio")
- Geogebra: alue ja pinta
funktion siirto (pyörähdyskappaleissa)
funktion/käyrän muodostaminen itse

muut kuin pyörähdyskappaleet

VI VIIKKO (17.3. alkaen)

Numeerinen integrointi 0 + 6 + 1

ylä- ja alasumma
keskipiste- ja puolisuunnikasmenetelmä
Geogebra

Opetusvideoita

"No tässä on Ville moi!"

1. Integrointi

1.1 Alkeisfunktioiden integrointi

Pro Tip - Mitä EI pidä tehdä

Älä koskaan integroi jako- tai kertolaskun osia erikseen.

Isoin ero derivointiin tulee siinä, että kerto- ja jakolaskuille ei ole olemassa omia integrointikaavoja (vrt. MAA6), vaan jokainen tilanne pitää miettiä erikseen.

Sisäfunktiosta näpit irti. Se ei muutu derivoidessa, eikä myöskään integroidessa.

Merkinnät

Integrointimerkintä on kaksiosainen, lopussa pitää olla dx. Sulkujen käyttö on vapaaehtoista.

Kun derivoidessa funktion f(x) derivaattaa merkitään f'(x), integroidessa funktion f(x) integraalifunktiota merkitään F(x).

Vakiota on hyvä merkitä kirjaimella C (constant).

Kumoa luvut käänteisluvuilla

Koska derivoidessa mahdollinen potenssi ja/tai sisäfunktion derivaatta tulee lausekkeen eteen, integroidessa nämä pitää kumota saman luvun käänteisluvulla.

Jos sisäfunktion derivaatta sisältää muuttujan x, sitä EI VOI kumota, vaan on keksittävä jotain muuta.

Lukiossa ei käsitellä kaikkia mahdollisia integrointimenetelmiä ja joskus integrointi ei ole mahdollista millään keinolla.

Neljän perusfunktiotyypin derivointi ja integrointi

Derivointi ja Integrointi

1.2 Määrätty integraali

Pro Tip - Laskujärjestys

Integroi ensin
Sijoita luvut ja laske "ylempi miinus alempi"

Vakio C:tä ei tarvitse ottaa mukaan, koska se katoaisi joka tapauksessa miinuslaskussa.

Määrätyllä integraalilla lasketaan kurssin toisessa osassa pinta-aloja ja tilavuuksia.

Esimerkki

1.3 Murtolausekkeen integrointi

Pro Tip - Huomaa ongelma

Kerto- ja varsinkin jakolaskun integroiminen on aina hankalaa, koska kerto- ja jakolaskun derivoimiskaavoille ei ole integroinnissa vastinetta.

Kerto- tai jakolaskua EI SAA integroida erikseen, vaan pitää aina löytää jokin muu tilanteeseen sopiva keino. Erityisesti jakolaskuissa tilanteita on paljon erilaisia, jolloin oikean etenemistavan tunnistaminen on vaikeaa.

Toinen ongelma on sisäfunktion derivaatta, jota EI VOI kumota, jos sisäfunktion derivaatta sisältää myös muuttujan x.

Tekniikoita

1.4 Chain rule (by ChatGPT)

1. Tehtävät

Vastaukset

Integrointi

2. Pinta-ala ja tilavuus

Pro Tip - Hyvä kuva

Piirrä riittävän hyvä kuva (Geogebralla, jos saa).
Päättele kuvan avulla mitä aluetta tehtävässä kysytään.
Laske tarvittavat leikkauspisteet (Nspirellä, jos saa).
Integroi.

Pinta-ala

X-akselin alapuolelle jäävä alue tulee integroidessa negatiivisena, joten pinta-alaa laskiessa siitä pitää ottaa itseisarvo.

Pyörähdyskappaletta tai kahden käyrän väliin jäävää aluetta laskiessa vastaavaa ongelmaa ei ole.

Integroinnin voi ajatella liittävän äärettömän määrän janoja yhteen, jolloin niistä muodostuu pinta-ala. Jokaisen janan pituus kohdassa x on sama kuin funktion arvo kohdassa x eli f(x).

Kahden käyrän väliin jäävä alue

Tässä f(x) on ylempänä ja g(x) alempana sijaitseva funktio.

Monimutkaisemmassa tilanteessa voi vaihtua, kumpi käyrä on ylempänä, jolloin pinta-ala pitää laskea osissa. Sen sijaan x-akselin sijainnista ei tarvitse välittää mitään.

Laskettaessa funktion ja x-akselin väliin jäävä alue, toinen funktio on itse x-akseli eli y = 0.

Esimerkki: Preli 2023

2.1 Pyörähdyskappale ja integrointi y-akselin suhteen

Pyörähdyskappale

Integroinnin voi ajatella liittävän äärettömän määrän ympyrälevyjä yhteen, jolloin niistä muodostuu tilavuus. Ympyrälevyn pinta-ala kohdassa x on f(x)-säteisen ympyrän pinta-ala.

Jos käyrä pyörähtää jonkin muun vaakasuoran kuin x-akselin ympäri, sitä voidaan siirtää vastaava määrä alas/ylös ja laskea sitten tilavuus pyöräyttämällä uusi käyrä x-akselin ympäri.

Integrointi y-akselin suhteen

Tämä on käyrän ja y-akselin välinen pinta-ala.

Vastaavasti voidaan laskea pyörähdyskappaleen tilavuus käyrän pyörähtäessä y-akselin ympäri.

Funktio pitää muuttaa käänteisfunktiokseen eli x:n ja y:n "roolit vaihtuvat" ja integrointi tapahtuu pitkin y-akselia eli integroimisväliksi otetaan kyseiset y-koordinaatit.

NSPIRE: Funktion/käyrän yhtälön muodostaminen tunnettujen pisteiden avulla

Pisteitä pitää tietää yhtä monta kuin on ratkaistavia kirjaimia, koska tarvitaan niin monta yhtälöä
Huomaa kertomerkki kahden kirjaimen väliin
Käyrä on funktio, jos jokaista x:n arvoa vastaa vain yksi y:n arvo
- Paraabeli on funktio, ympyrä ei ole. Vaakasuora viiva on funktio, pystysuora viiva ei ole.

GEOGEBRA: Funktion/käyrän yhtälön muodostaminen tunnettujen pisteiden avulla

Jos tehtävässä kelpaavat likiarvot (desimaaliluvut) tai kertoimet sattuvat olemaan kokonaislukuja, yhtälön muodostamiseen voi käyttää myös Geogebraa. Paraabeli saadaan komennolla SovitaPolynomi(A,B,C).

NSPIRE: Funktion tai käyrän piirtäminen

Funktion rajaus

Rajaus toimii myös käyrää piirtäessä.

Käyrä, joka ei ole funktio

GEOGEBRA: Alue ja pyörähdyskappale

Alueen väritys

Helpoin tapa värittää alue on integroida se.

Geogebra laskee ja värittää kaiken automaattisesti komennoilla Integraali(f(x), a, b) ja Integraaliväli(f(x), g(x), a, b), mutta tulokset ovat likiarvoja (desimaalilukuja).

Leikkauspisteitä ei saa katsoa kuvasta, vaan ne on laskettava, joten tehtävä kannattaa yleensä tehdä Nspirellä ja käyttää Geogebraa vain, jos haluaa tehdä hienon kuvion.

Pyörähdyskappaleen pinta

Rajaa funktiosta haluamasi osa ja ota 3D-piirtoalue.

Pinta(f(x), 2𝜋, xAkseli)

kaksi piitä on yksi kokonainen kierros (=360 astetta)
xAkselin tilalle voi laittaa yAkselin

2. Tehtävät

Vastaukset

Pinta-ala ja tilavuus

3. Numeerinen integrointi

3.1 Ylä- ja alasumma

Jos funktion integrointi ja siten pinta-alan laskeminen tarkasti on mahdotonta (tai funktiota ei edes tiedetä!), pinta-alaa voidaan kuitenkin arvioida likimääräisesti.

Käyttäen alasummia, saadaan selville miten suuri pinta-ala on vähintään ja käyttäen yläsummia, miten suuri se on enintään.

Alasumma

Etsitään joka väliltä funktion pienin arvo ja käytetään sitä suorakulmion korkeutena.

Yläsumma

Etsitään joka väliltä funktion suurin arvo ja käytetään sitä suorakulmion korkeutena.

3.2 Keskipistemenetelmä

Käytännössä ylä- ja alasummien käyttö on hankalaa (ilman Geogebraa). Huomattavasti helpompi tapa arvioida pinta-alaa on laskea suorakulmioiden pinta-alat käyttäen jokaisen jakovälin keskipistettä suorakulmion korkeuden määrittämiseen.

#Numeeriseen integrointiin on kehitetty parempiakin menetelmiä, joista ehkä käytetyin on Simpsonin sääntö.

Keskipistemenetelmä

Menetelmän ongelma on, että sen tarkkuudesta ei tiedetä oikein mitään eikä edes sitä, onko näin saatu tulos liian suuri vai liian pieni.

Esimerkki

Jaettaessa väli [1, 3] neljään tasalevyiseen osaan, jokaisen välin leveys eli d = 0,5. Välien keskipisteet sijaitsevat tällöin kohdissa {1,25; 1,75; 2,25 ja 2,75}.

GEOGEBRA

Yläsumma

Alasumma

Keskipistemenetelmä

Esimerkissä välejä on 4 ja viimeinen arvo 0.5 (=50 %) tarkoittaa sitä, että suorakulmion keskikohta on puolivälissä osaväliä eli käytetään keskipistemenetelmää.

Puolisuunnikasmenetelmä

Ei lasketakaan suorakulmioiden, vaan puolisuunnikkaiden pinta-alat yhteen.

Integrointi ilman integrointia (yo-koe)

S2024 A 4 (määrätyn integraalin avulla saadaan laskettua pinta-ala, joten laskemalla pinta-ala saadaan selville määrätyn integraalin tulos)
S2022 B2 11 (numeerinen integrointi)
K2022 B1 9 (numeerinen integrointi)
K2019 B1 9 (numeerinen integrointi)

3. Tehtävät

Vastaukset

Numeerinen integrointi

Google Sites

Report abuse