MAA3

MAA3 GEOMETRIA

Kurssin sisältö ja aikataulu 2026

Geometriassa kaikki laskut voi tehdä yleensä laskimella, mutta sitä ennen tehtävä kannattaa luonnostella ja suunnitella kynällä ja paperilla - tai joskus Geogebralla.

1. Suorakulmainen kolmio

4. Yksiköt ja yhdenmuotoisuus

4. Tehtävät

5. Kolmiulotteiset kappaleet

5. Tehtävät

I VIIKKO

Suorakulmainen kolmio 18 + 7 + 4

II-III VIIKKO

Kolmio 0 + 13 + 12

sini- ja cosinilause)
kaksi vastausta siniä käyttäessä
ilman nspireä
Mediaani, kulmanpuolittaja, keskinormaali

IV VIIKKO

Ympyrä 5 + 11 + 10

Segmentti ja tangentti
Pituus- ja leveyspiirit

V VIIKKO

Yksiköt ja yhdenmuotoisuus 0 + 8 + 4

VI VIIKKO

Kolmiulotteiset kappaleet 7 + 9 + 5

Opetusvideoita

"No tässä on Ville moi!"

1. Suorakulmainen kolmio

Pro Tip - Totuttele kirjaimiin ja neliöjuuriin

Geometrian ylivoimaisesti käytetyin työkalu on Pythagoraan lause. Se ei ole vaikea, mutta haasteena on tottua käsittelemään kirjaimia ja neliöjuuria.

Pythagoras ei ollut tyhmä. Koska yhtälön toisella puolen on pluslasku (binomi), potensseja EI VOI ottaa lausekkeesta pois ottamalla puolittain neliöjuuri.

Pythagoraan lause

a² + b² = c²

eli hypotenuusan neliö on kateettien neliöiden summa.

Todistus

Kolmion pinta-ala

Kurssilla tulee myöhemmin myös toinen tapa laskea kolmion pinta-ala

Trigonometria

Kolmio

Tasakylkinen ja tasasivuinen kolmio voidaan jakaa kahteen symmetriseen, suorakulmaiseen kolmioon.

Kolmion kulmien summa on aina 180 astetta.

NSPIRE

Kulman yksikkö

Tarkista, että laskimesi on asteina, eikä radiaaneina.

SpeedCrunch

Sulut

Käytettäessä trigonometrisia funktioita luku laitetaan aina sulkuihin.

Arcusfunktiot

Alkuun lisätään "arc", joka katoaa painettaessa enteriä.

Solve

Jos ratkaiset kulmaa yhtälön avulla, rajaa vastaus.

Muista CTRL + Enter, kun haluat likiarvon.

1. Tehtävät

Vastaukset

Suorakulmainen kolmio

2. Kolmio

2.1 Sini- ja cosinilause

Pro Tip - Parit

Sini- ja cosinilauseessa sivu ja sen vastainen kulma muodostavat aina parin. Sinilauseessa nämä parit yhdistetään alekkain ja cosinilauseessa on vain yksi pari, joka erotetaan toisistaan.

Sinilause

Vaikka sinilause kirjoitetaan yleensä niin, että siinä on kaikki kolme paria, laskiessa käytetään vain kahta paria kerrallaan.

Ratkaistaessa kolmion kulmaa sinilauseella, tehtävällä voi joskus olla kaksi vastausta.

www.geogebra.org/m/c6tf2nng

Kolmion suurin kulma sijaitsee aina sen pisintä sivua vastapäätä.

Cosinilause

Cosinilauseella voi laskea kolmion kulman, kun kaikki kolmion sivut tunnetaan tai puuttuvan sivun, kun yhtään paria ei ole valmiina.

Kulma ilman solvea

2.2 Kolmion pinta-ala

Sen sijaan, että laskisi "kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella", joskus voi käyttää myös toista tapaa.

Kulman on oltava tunnettujen sivujen välinen kulma. Jos pinta-ala ja sivujen pituudet tiedetään, kulmalle voi olla kaksi eri vaihtoehtoa.

Esimerkki

2.3 Mediaanit

Kulmanpuolittajat

Keskinormaalit

www.geogebra.org/m/nrxgx5vf

Mediaanit leikkaavat toisensa suhteessa 2 : 1 kolmion kärjestä alkaen.
Tämä leikkauspiste on myös kolmion painopiste.

https://www.geogebra.org/m/dedfperu

Kulmanpuolittaja jakaa kolmion vastakkaisen sivun samassa suhteessa, mikä on sen viereisten sivujen suhde eli kuviossa b / c = h / i.
Kulmanpuolittajien leikkauspiste on kolmion sisään piirretyn, sen kaikkia sivuja sivuavan ympyrän keskipiste.

https://www.geogebra.org/m/enyqwfmp

Keskinormaalien leikkauspiste on sellaisen ympyrän keskipiste, joka kulkee kaikkien kolmion kärkien kautta.

2. Tehtävät

Vastaukset

Kolmio

3. Ympyrä

# Löytyykö piistä syntymäaikasi ja puhelinnumerosi?

3.1 Kehä, pinta-ala, kaari, sektori, jänne, segmentti, kehä- ja keskuskulma

Kaari ja sektori

Kaaren pituus ja sektorin pinta-ala saadaan murto-osana kehän pituudesta ja ympyrän koko pinta-alasta.

Jänne ja segmentti

Jänne rajaa ympyrän kahteen segmenttiin. Segmentin pinta-alan laskeminen on työlästä (sektori +/- kolmio).

Kehä- ja keskuskulma

Kehäkulma on aina puolet samalle kaarelle menevästä keskuskulmasta.

3.2 Ympyrän tangentti

Ympyrän tangentit ovat aina kohtisuorassa ympyrän sädettä vasten. Laskemista varten kuvio voidaan jakaa kahteen samanmuotoiseen, suorakulmaiseen kolmioon.

3.3 Pituus- ja leveyspiirit

Pituuspiirit

Kaikki pituuspiirit ovat yhtä pitkiä (n. 40 000 km).

Leveyspiirit

Leveyspiirien pituus vaihtelee ja vain Päiväntasaajan pituus on 40 000 km.

3. Tehtävät

Vastaukset

Ympyrä

4. Yksiköt ja yhdenmuotoisuus

4.1 Yksikkömuunnokset

Perusyksiköt

Pinta-aloja muunnettaessa pilkku siirtyy kaksinkertaisen ja tilavuuksia muunnettaessa kolminkertaisen määrän.

Erikoisuudet

Vanhat pinta-alanimitykset aari (10 x 10 m) ja hehtaari (100 x 100 m).
Litra on 1000 cm³, desilitra on 100 cm³ ja senttilitra 10 cm³.
Varsinkin amerikanenglannissa, mutta välillä myös "yleisenglannissa", suurista luvuista puhuttaessa miljardi (milliard) jätetään kokonaan välistä ja tällöin englannin luku billion vastaa meidän miljardiamme (9 nollaa) ja trillion meidän biljoonaamme (12 nollaa).

10-potenssimuoto

Luonnontieteissä ja laskimissa esiintyy usein ns. kymmenpotenssimuoto. Laskin ilmoittaa tuloksen E-kirjaimen avulla, mutta se pitää itse muuttaa vastauksessa kymmenen potenssiksi tai sanalliseksi muodoksi.

NSPIRE

Nspire osaa muuttaa yksiköitä ja laskea eri yksiköillä.

Muunnosoperaattori on pieni kolmio ja yksikön eteen tulee alaviiva.

(Osa yksiköistä on hieman kummallisia, kuten pintti ja gallona, ja joitakin melko yleisiä ei ole ollenkaan, kuten esimerkiksi desilitraa.)

Esimerkkejä

4.2 Yhdenmuotoisuus

Yhdenmuotoisuus (mittakaava)

Asia on yksinkertainen, mutta sen havaitseminen on joskus vaikeaa.

Pinta-ala ja tilavuus

Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö (eli mittakaava potenssiin kaksi) ja tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio (eli mittakaava potenssiin kolme).