Matematica (Scienze Biologiche, A.A.25/26)

Avvisi

Calendario prossime lezioni ed esercitazioni:

• No lezioni ed esercitazioni venerdì 1 maggio (vacanza)

• Giovedì 7 maggio, lezione 11:00-13:00

• Venerdì 8 maggio, esercitazioni 11:00-13:00 e 14:00-17:00

• Giovedì 14 e venerdì 15 maggio, lezioni 11:00-13:00 (NO esercitazioni venerdì pomeriggio)

• Giovedì 21 e venerdì 22 maggio, esercitazioni (tutte le ore)

Docenti

• Lezioni: Luca Franzoi (franzoi@mat.uniroma2.it). Orario di ricevimento: giovedì 15-17 (ufficio 1121, corridoio A1, su appuntamento)

• Esercitazioni: Giacomo Greco (greco@mat.uniroma2.it)

Orario e luogo

• Lezioni: giovedì 11-13, venerdì 11-13 (aula 8, edificio PP2)

• Esercitazioni: venerdì 14-17 (aula 8, edificio PP2)

Obiettivi del corso

• OBIETTIVI FORMATIVI:  Apprendere alcuni argomenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale e di algebra lineare,  con applicazioni a semplici equazioni differenziali ordinarie e allo studio di sistemi di equazioni lineari. 

• CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:  comprensione intuitiva dei concetti di base del calcolo infinitesimale e dell'algebra lineare, con qualche esempio di formalizzazione matematica. 

• CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:  saper calcolare semplici limiti, derivate, integrali, equazioni differenziali, sistemi lineari; avere la capacità di riconoscere i vantaggi della formalizzazione matematica e dell' applicazione della matematica.

• AUTONOMIA DI GIUDIZIO:  Saper riconoscere il metodo di soluzione per semplici problemi matematici. 

• ABILITÀ COMUNICATIVE: Saper spiegare il motivo di una scelta di procedimento di soluzione di un problema. 

• CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:  imparare a distinguere gli elementi essenziali di un problema e a studiare un testo scientifico.

Programma del corso

1. INSIEMI, NUMERI E FUNZIONI:

•  richiami a nozioni elementari della teoria degli insiemi; 

• definizioni di base per funzioni; 

• costruzione degli insiemi numerici, dalla struttura dei numeri naturali al campo algebrico completo dei numeri complessi; 

• insiemi numerabile e non numerabili.

2. SUCCESSIONI E SERIE (CENNI): 

• definizione di successione reale; 

• successioni convergenti, divergenti, irregolari e monotone;  

• calcolo dei limiti e forme di indecisione; 

• definizione del numero di Nepero ed applicazione ai tassi di interesse; 

• definizione di serie ed esempi elementari di serie convergenti e divergenti.

3. FUNZIONI REALI IN UNA VARIABILE REALE - LIMITI E CONTINUITÀ: 

• definizione di grafico di una funzione; 

• funzioni limitate, simmetriche, monotone e periodiche;  

• composizioni di funzioni e funzione inversa; definizione di limite per funzioni reali in una variabile reale ed unicità del limite; 

• continuità in un punto, continuità globale e punti di discontinuità; infiniti, infinitesimi, equivalenza asintotica e tipologie di asintoti; 

• richiami alle funzioni elementari, loro proprietà (domini di esistenza, simmetrie, monotonia, invertibilità) ed operazioni con funzioni; 

• proprietà fondamentali sulle funzioni continue (operazioni tra funzioni continue, teorema degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi); 

• proprietà per il calcolo dei limiti (confronto, permanenza del segno, algebra dei limiti, composizione); 

• limiti notevoli e gerarchia degli infiniti.

4. FUNZIONI REALI IN UNA VARIABILE REALE - CALCOLO DIFFERENZIALE E STUDIO DI FUNZIONI:

• problema delle variazioni infinitesimali e definizione di derivata prima in un punto;

• derivate di funzioni elementari;

• punti di non derivabilità (punti angolosi, cuspidi, flessi verticali), relazione tra continuità e derivabilità;

• regole del calcolo differenziabile (operazioni algebriche, composizione, inversione);

• punti stazionari e massimi e minimi locali (teorema di Fermat, teorema di Lagrange, test di monotonia);

• teorema di de l'Hospital;

• derivata seconda e consequenze geometriche (concavità, confessità, flessi orizzontali);

• studio del grafico di una funzione;

• cenni su differenziali, approssimazioni, simbolo "o piccolo", sviluppi con formule di Taylor-MacLaurin, serie di potenze.

5. FUNZIONI REALI IN UNA VARIABILE REALE - INTEGRALI:

• problema della misura e definizione di integrale definito di Riemann;

• proprietà dell'integrale definito e teorema della media integrale;

• definizione di funzione primitiva e teorema fondamentale del calcolo integrale;

• metodi per il calcolo di primitive (primitive note, scomposizione, sostituzione, riduzione per simmetria, integrazione per parti);

• integrazione di funzioni razionali, funzioni trigonometriche e funzioni irrazionali;

• cenni su funzioni integrabili e studio di funzione integrale.

6. EQUAZIONI DIFFERENZIALI:

• esempi di problemi modellizzati da equazioni differenziali (dinamica delle popolazioni, modello logistico);

• concetti di base per equazioni differenziali del primo ordine, problema di Cauchy;

• equazioni differenziali a variabili separabili;

• equazioni lineari omogenee ed non omogenee;

• equazioni a coefficienti costanti del secondo ordine e fenomeni oscillatori.

7. ALGEBRA LINEARE E SISTEMI LINEARI:

• vettori nello spazio euclideo n-dimensionale, prodotto scalare, indipendenza lineare, basi ortonormali (procedimento di Gram-Schmidt);

• definizione di matrici ed operazioni algebriche;

• calcolo del determinante per matrici 2x2, 3x3 e 4x4;

• caratteristica di una matrice e calcolo del rango;

• soluzione di sistemi lineari con il metodo di Cramer;

• teorema di Rouché-Capelli e sistemi lineari con parametri;

• autovalori ed autovettori per matrici quadrate, diagonalizzazione di matrici;

• cenni ad applicazioni lineari tra spazi vettoriali.

Libro di testo consigliato

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare (2° ed.), Zanichelli

Modalità di esame

Esame scritto della durata massima di 3 ore, che verterà sulla soluzione di esercizi riguardati i seguenti argomenti:

1. calcolo di limiti di funzioni reali in una variabile reale

2. calcolo di integrali indefiniti e definiti

3. studio di una funzione reale in una variabile reale

4. studio di un'equazione differenziale

5. calcolo di autovalori ed autovettori di matrici

6. studio di un sistema lineare con parametri

 Policy sull'utilizzo di LLM (ChatGPT, Gemini, Claude, ...)

UN USO INTELLIGENTE DELL'INTELLIGENZA ARTIFICIALE*: Uno degli utilizzi più efficaci dei modelli linguistici di grandi dimensioni (LLM) per gli studenti di Matematica Generale non è quello di farsi dare direttamente le soluzioni degli esercizi, ma di usarli come interlocutori critici dopo aver già svolto autonomamente un esercizio. Il metodo consiste nel risolvere un problema in modo indipendente, poi presentare la propria soluzione al modello chiedendogli di analizzarla, identificare eventuali errori concettuali o formali, e proporre un approccio alternativo. Questo confronto permette di capire non solo se la risposta è corretta, ma perché un certo passaggio funziona o non funziona, consolidando la comprensione dei meccanismi sottostanti. Ad esempio, dopo aver calcolato un limite o dimostrato la convergenza di una serie, si può chiedere al modello: "Ho risolto l'esercizio in questo modo — ci sono ipotesi che ho dato per scontate? Esistono casi in cui questo approccio fallirebbe?". In questo modo l'LLM diventa un tutor disponibile in qualsiasi momento, capace di stimolare il ragionamento critico, suggerire connessioni tra concetti e aiutare a costruire una comprensione più robusta e profonda della matematica, ben oltre la semplice verifica del risultato finale. 

Durante l'esame, qualsiasi forma di copiatura o di ricorso a modelli di intelligenza artificiale — in qualunque modalità — non sarà tollerata e comporterà l'annullamento immediato della prova, con le conseguenze disciplinari previste dal regolamento d'ateneo. L'obiettivo del percorso universitario è sviluppare una competenza matematica autentica e personale: solo affrontando le difficoltà in modo diretto e indipendente si acquisisce quella solidità di ragionamento che nessuno strumento esterno potrà mai sostituire.

(*: paragrafo creato con l'aiuto di Claude)