Родился 25 апреля 1962 года в городе Могилев.

В 1977 году окончил 8 классов средней школы № 27 города Могилев, ПТУ № 54 строителей по специальности слесарь.

Работал на Могилевском металлургическом заводе.

29 марта 1982 года Могилевским горвоенкоматом призван в ряды Вооруженных Сил, с июля 1982 года проходил службу в Афганистане в войсковой части полевая почта 86997.

Во время проведения боевой операции в районе населенного пункта Руха 12 августа 1982 года, верный военной присяге, проявив стойкость и мужество, отражая наступавшего противника, пытавшегося обойти артиллерийскую батарею с тыла, рядовой А.И. Громов был смертельно ранен и умер на поле боя.

Похоронен в деревне Полыковичи Могилевского района.

За мужество и героизм посмертно награжден орденом Красной Звезды и медалью “Воину-интернационалисту от благодарного афганского народа”.

Громаў Аляксандр Іванавіч // Памяць. Афганістан / рэдактар А. Л. Петрашкевіч [і інш.]. — Мінск, 1991. — С. 103 : фота.

Громов Александр Иванович // Республиканская книга Памяти воинов-интернационалистов / Г. П. Пашков (гл. редактор) [и др.]. — Минск, 1999. — С. 164 : фото.