Родился 6 ноября 1963 года в городе Шклов Могилевской области. Белорус. В 1981 году окончил среднюю школу № 4 города Шклов. В 1982 году поступил в Киевский инженерно-строительный институт на факультет "Городское строительство".

30 июня 1983 года Зилизничным райвоенкоматом города Киева призван в ряды Вооруженных Сил, войсковая часть 81102.

В октябре 1983 года направлен в Афганистан в войсковую часть полевая почта 51932. Командир мотострелкового отделения. Служил в 8-й горно-стрелковой роте в звании сержанта.

Геннадий Бабейкин воевал в должности старшего наводчика гранатомета. Успел принять участие в 8 боевых операциях, в которых проявлял высокие боевые и моральные качества. Он никогда не оставлял товарищей в беде, делился своими радостями и неудачами.

9 августа 1984 года рота выдвигалась на выполнение боевой задачи. Душманы открыли сильный огонь. Во время боя сержант Бабейкин вел огонь из гранатомета по мятежникам, давая возможность своим товарищам занять выгодные позиции. Мятежники стали вести огонь из минометов. Осколком одной разорвавшейся мины был смертельно ранен сержант Бабейкин. Он не покинул поле боя.

Похоронен в деревне Рыжковичи Шкловского района Могилевской области.

"За стойкость и мужество, проявленные при выполнении интернационального долга, сержант Бабейкин Г.А. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 25 ноября 1984 года посмертно награжден медалью "За отвагу"", — так описывает подвиг командование в письме на адрес классного руководителя Геннадия Галины Петровны Стукановой.

Это письмо вместе с другими ценными экспонатами бережно хранится в музее СШ № 4 г. Шклова. Здесь же — фотографии Геннадия Бабейкина школьных времен и времен службы, его личное дело, экзаменационная работа по алгебре за 10 класс с оценкой "отлично", комсомольский и профсоюзный билет, воспоминания учительницы математики З.В. Симанович: "Бабейкин Геннадий добросовестно выполнял все уроки. Это был очень трудолюбивый мальчик. Особенно он любил математику. Исключительно хорошо отвечал на все вопросы, особенно любил решать задачи, причем скал несколько способов решения. Многие теоремы доказывал другим способом, отличным от учебника. Он успешно занимался в заочной математической школе при Минском политехническом институте", — пишет учитель.

Уголок, посвященный Геннадию Бабейкину в школьном музее, ведет свой отсчет с 1990 года, помощь в этом оказали учителя истории Валентина Иосифовна Белоусова и Тамара Сергеевна Добрянская. С тех пор все, связанное с героем афганской войны, бережно собирается и служит целям патриотического воспитания учащихся.

"Каждый год учащиеся группы "Музейное дело" готовят открытый классный час "Он выполнил свой интернациональный долг", организуют уголок памяти Геннадия Бабейкина. Всегда рядом с портретом Геннадия — живые цветы, вокруг — несет дежурство вахта памяти, ребята рассказывают стихи о войне, о не вернувшихся домой солдатах, знакомят учащихся школы с воинами-интернационалистами района, рассказывают про события войны в Афганистане, про подвиг солдат, зачитывают строки из последнего письма Геннадия", — рассказывает учитель истории СШ № 4 Елена Голынец.

Имя Геннадия Бабейкина в школе носит пионерская дружина. Учащиеся постоянно навещают могилу славного выпускника своей школы. За мужество и героизм посмертно награжден медалью "Воину-интернационалисту от благодарного афганского народа", грамотой "Воину-интернационалисту".

Ацькоў, Ю. Давайце ўспомнім Генадзя : [пра Генадзя Анатольевіча Бабейкіна] / Ю. Ацькоў // Ударны фронт (Шклоў). — 1991. — 24 жніўня. — С. 2.

Бабейкін Генадзь Анатолевіч // Памяць. Афганістан / галоўны рэдактар А. Л. Петрашкевіч. — Мінск, 1991. — С. 30—31.

Бабейкин Геннадий Анатольевич // Республиканская книга Памяти воинов-интернационалистов / главный редактор Г. П. Пашков. — Минск, 1999. — С. 42 : фото.

Бялясаў, А. Прысвяцілі свайму выпускніку : [пра Генадзя Анатольевіча Бабейкіна] / А. Бялясаў // Ударны фронт (Шклоў). — 1990. — 20 студзеня. — С. 2 : фота.

Казебродская, Н. "Невозможно передать ту боль утраты…" : [встреча с сестрой Геннадия Бабейкина, погибшего воина-интернационалиста] / Н. Казебродкая // Ударны фронт (Шклоў). — 2020. — 15 лютага. — С. 4 : фото.

Пока мы помним — они живы : [о Геннадии Анатольевиче Бабейкине, воине-интернационалисте, уроженце г. Шклова] // "Мы воевали за мирное будущее..." : посвящается 20-летию межрегиональной встречи воинов-интернационалистов / [авторский коллектив: Е. В. Ревяко и др. ; редколлегия: П. В. Савельев и др.]. — Шклов, 2018. — С. 68, 70—71.

Рандицкая, М. Особое внимание — матерям и сестрам : [о встрече с родственниками Владимира Ильюшенко, Геннадия Бабейкина, которые выполняли свой интернациональный долг в Афганистане] / М. Рандицкая // Ударны фронт (Шклоў). — 2020. — 19 лютага. — С. 5 : фото.