Постановка задачи (этап 1)
Задача. Под углом 60° к горизонту и начальной скоростью 30 м/с брошен камень. Сопротивление воздуха не учитывается.
Вопросы:
Как далеко от места бросания камень упадет?
Сколько секунд камень будет находиться в полете?
Какова наибольшая высота взлета камня?
Как скоро от начала полета будет достигнута наивысшая точка полета?
Выбор плана создания модели (этап 2)
Объектом исследования является положение в пространстве летящего тела в зависимости от времени. Определенно ясно, что камень при данных начальных условиях действительно должен полететь.
Для создания модели потребуются специальные знания из курса физики и математики. Устное решение задачи невозможно.
Для решения задачи нужно строить документальную математическую модель задачи (уравнения, формулы).
Дальнейшее моделирование возможно двумя путями. Решение математической задачи можно получить в виде формулы (аналитическое решение). Второй путь связан с построением компьютерной модели (расчетное решение).
Будем строить компьютерную модель с помощью электронных таблиц, рассчитывая для разных моментов времени удаление и высоту полета камня.
Таким образом, получаем этапы создания модели:
3а — создание документальной математической реализации модели.
3б — создание компьютерной реализации модели.
Создание документальной математической реализации модели (этап 3а)
В вертикальной плоскости полета камня зададим прямоугольную систему координат с началом в точке вылета. Схема представлена на рисунке
Начальная скорость v (м/c) разлагается на составляющие vx и vy по углу бросания u в градусах:
Положение тела в полете определяется парой координат x(t), y(t). Зависимость координат от времени t (с) описывается формулами:
где g = 9,81 — ускорение свободного падения, т.е.
Положение камня в полете будем рассматривать в отдельные моменты времени t0, t1, t2 и т.д. Пусть начальный момент t0 равен 0, а последующие моменты отстоят друг от друга на одну и ту же величину dt, называемую шагом времени. Зададим dt = 0,2 c.
Создание компьютерной реализации модели (этап 3б)
Используем табличную схему модели в электронных таблицах.
В первую строку рабочей таблицы введем название «Модель полета тела».
Исходными данными для задачи являются начальная скорость (30 м/с), угол бросания (60 град.) и шаг времени (0,2 с).
В расчетной таблице в столбцах будем отображать: время с начала процесса (столбец Время), координату-удаление (столбец x(t)) и координату-высоту (столбец y(t)). Модель получит вид, приведенный на рисунке
Вводим данные в первую строку расчетной таблицы:
A9: 0 В9: 0 С9: 0
Вторая строка расчетной таблицы — формульная:
A10: =A9+$A$5
В10: =$A$3*COS($A$4*3,14/180)*A10
C10: =$A$3*SIN($A$4*3,14/180)*A10–9,81*A10^2/2
Абсолютные адреса в формулах введены для обеспечения последующего копирования формул.
Следующие 35 строк расчетной таблицы, включая строку 45 рабочей таблицы, заполняем вниз содержимым блока A10:C10.
Расчетную таблицу можно дополнить диаграммой.
Выделяем в расчетной таблице блок B9:C45 и вставляем на свободное место рабочей таблицы диаграмму (Точечная с гладкими кривыми и маркерами). Легенду можно удалить.
Проверка адекватности модели (этап 4)
Адекватность модели проверяется рассчитанными данными. Для 1 сек полета удаление равно 15,01379067 м, а высота — 21,06779518 м.
Модель адекватна реальному процессу только с допущением об отсутствии сопротивления воздуха и для положительных значений координат. Когда координата (высота) становится отрицательной, модель становится неадекватной (тело находится ниже уровня земли).
Получение решения задачи с помощью модели (этап 5)
Для ответа на вопросы задачи анализируются расчетная таблица и диаграмма.
По числам в графе y(t) находится та строка, в которой положительные числа переходят в отрицательные (на диаграмме график полета тела пересекает горизонтальную ось). Это и есть момент падения с точностью до величины шага времени. Так получается ответ на 1-й вопрос.
Ответы на остальные вопросы находятся аналогично.
Задача 1. Найдите угол бросания, при котором камень с начальной скоростью 35 м/с упадет в 100 м от места бросания. Найдите время полета.
Задача 2. Для дальности 100 м и при угле бросания 60° найдите начальную скорость и время полета камня.