12 Límites y derivadas

¿Qué es el límite de una función?

Los límites

Un límite, es el valor que toma una función cuando nos acercamos mucho a un punto concreto.

Se representa como:

Se lee como:

Límite cuando "x" tiende a "a" de la función f(x) es "b"

Límite en una FUNCIÓN CONTINUA

Límite en una FUNCIÓN DISCONTINUA

En estos casos, a medida que nos acercamos al punto "x = a" donde está la discontinuidad, el valor de la función es distinto por la izquierda que por la derecha.

Para ello, estudiamos los límites en ese punto por la izquierda y por la derecha:


EJEMPLO:

Límites al INFINITO

Son aquellos límites en los que la "x" tiende al infinito.


En estos casos, sustituimos las "x" por "+∞" o por "-∞"

En FUNCIONES POLINÓMICAS, cuando "x tiende a infinito", nos quedamos únicamente con las "x" de mayor grado, porque son las que más "fuerza" tienen.


EJEMPLO:

Límites de FUNCIONES RACIONALES

Cuando "x tiende a un número"

Caso sencillo:

Si obtenemos una indeterminación del estilo 0/0:

Cuando "x tiende a INFINITO"

Nos quedamos, en cada polinomio del numerador y denominador, con la "x" de mayor grado.


Se pueden plantear 3 casos:


¿Qué es una derivada?

Una derivada es una operación matemática que nos sirve para medir cómo varía una función en un determinado espacio, concretamente en un espacio muy pequeño.https://youtu.be/AzTGmJGIpI8

De forma elemental, podemos introducir la derivada como

TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN

Es decir, lo que varía en "x" y en "y" una función entre dos valores dados.


Esta TVM es: LA PENDIENTE entre esos dos puntos

EJEMPLO:

Dada la función f(x) = 2x - 1

a) Calcula la TVM de f(x) en el intervalo [1,4]

b) Halla la pendiente del segmento PQ

En definitiva, la derivada es la TANGENTE a la función en un punto.


PENDIENTE CRECIENTE

Si la derivada en el punto es POSITIVA


PENDIENTE DECRECIENTE

Si la derivada en el punto es NEGATIVA

Cuando ese intervalo [a,b] es infinitamente pequeño, utilizamos los LÍMITES.

Y decimos que la derivada en un punto "a" es:

EJEMPLO:

Calcula la derivada de la función

f(x) = 3x - 5 en el punto x = 2

Calcula la derivada de la función

f(x) = 3x - 5 en el punto x = 2


Más ejemplos de cálculo de derivadas en un punto >>>

T7 - Derivada (TABLA vs DEFINICION).pdf

Pero hay otra forma de hacer el cálculo de derivadas. En este caso, debemos aprendernos la tabla de derivadas directas

Hoja de repaso

Repaso límites y derivadas

T12 - Hoja de repaso (Solo lim y deriv).pdf