Analisi Matematica 5

Programma svolto

Intro, richiami e oggetti di base:

- Introduzione generale ed esempi (il problema di Didone, la brachistocrona, superfici minime, geodetiche su una varietà Riemanniana).

- Richiami di geometria differenziale e topologia:

. immersioni di un aperto di R^2 in R^3 ed embedding, l’immersione canonica ed esempi di immersioni che non sono embedding.
. Definizioni di Spazio tangente e cotangente a un aperto di R^n, natura tensoriale intrinseca di vettori e forme lineari.
- Funzionali di Lunghezza ed Energia di una curva su una varietà immersa. Funzioni assolutamente continue e C^1 a tratti.
La norma^2 dell’applicazione tangente: apparizione della metrica Riemanniana. Formulazione dei funzionali di lunghezza ed Energia in termini di metrica riemanniana. Isometrie e cambiamenti di parametrizzazione o il perché la scelta di minimizzare l’energia invece della lunghezza.

Calcolo delle variazioni in un aperto di R^n:

- Lo spazio delle curve C^0 e C^1 a tratti. Il fibrato tangente e la Lagrangiana dipendente esplicitamente dal tempo. Cammini minimali, Esempio di Funzionale inferiormente limitato ma che non ammette minimo. Definizione di variazione di un cammino e di estremale.
Equazioni di Eulero-Lagrange in forma integrale. Lemma di Erdmann (o primo lemma fondamentale del Calcolo delle variazioni). Definizione di differenziabilità di Fréchet e di Gateaux su spazi di Banach. Continuità e limitatezza per operatori lineari su spazi di Banach.
- Segmenti geodetici. Teorema di Regolarità (se la metrica è di Classe C^k, lo sono anche i segmenti geodetici). Definizione di Lagrangiani regolari e applicazione di Legendre. Conseguenze. Lagrangiani regolari implicano regolarità degli estremali. Equazioni di Eulero-Lagrange per Lagrangiani regolari. Secondo lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni.
- Variazioni interne. Prima apparizione della conservazione dell’Energia.
- L’equazione delle geodetiche e il campo vettoriale associato sul Tangente del Fibrato Tangente. Definizione di geodetiche. Le geodetiche sono percorse con velocità costante. I segmenti geodetici sono anche gli estremi dell’integrale di lunghezza. Invarianza delle equazioni di E-L per diffeomorfismi, i.e. naturalità di L rispetto al pull-back.
- Condizione necessaria per esistenza di minimi: la condizione di Legendre
- Fenomeni legati alla non regolarità di L: non suriettività, invarianza di gauge e vincoli, lagrangiani positivamente omogenei in \dot q, non iniettività. Regolarità delle classi di cammini considerate, variazioni forti e variazioni deboli, minimi forti e minimi deboli: esempio di funzionale con minimo debole ma non forte.
- Il flusso geodetico e il fibrato unitario. Il flusso geodetico sul toro piatto T^2 e la sua geometria. Caratterizzazione dinamica e topologica delle geodetiche sul toro. 

Il calcolo fondamentale: variazione a estremità libere

- Il calcolo fondamentale: La variazione del funzionale di azione a estremità libere e sue conseguenze. Il primo teorema di Noether. Conservazione del momento cinetico nel problema newtoniano degli N corpi come conseguenza dell’invarianza dell’azione di SO(2). 

Seconda conservazione dell’energia. Il secondo teorema di Noether per campi vettoriali dipendenti dal tempo.

- Parentesi: il flusso di un campo vettoriale nonlineare, volumi e determinanti, variazione infinitesimale di volumi in R^n tramite flussi di campi. Divergenza di campi.
- La trasformata di Legendre intrinseca per L regolare. La trasformata di Legendre nel caso convesso. Esempi.
- La stretta convessità (in senso C^2) di L implica la stretta convessità di H.
- Il calcolo fondamentale nel mondo cotangente: la 1-forma di Liouville tautologica e l’invarinate integrale di Poincaré-Cartan. Variazione del funzionale di azione come differenza dei pull-back della 1-forma di Poincaré-Cartan. Teorema dell’invariata integrale di Poincaré-Cartan: lato Lagrangiano-Hamiltoniano. Il tensore impulso-enegia.
- Invariati integrali relativi completi e loro caratterizzazione. Definizioni di derivata di Lie di una k-forma differenziale lungo un campo vettoriale, contrazione di una k-forma differenziale. Formula magica di Cartan.
- Definizione intrinseca dei campi vettoriali Hamiltoniani ed Equazioni di Hamilton, involutivi della trasformata di Legendre. 2-forma simplettica standard e gradiente simplettico. Il teorema dell’invariante integrale di Poincaré-Cartan: lato Hamiltoniano e invarianza della forma simplettica. 

 Caratterizzazione variazionale degli invariati integrali: il principio di Hamilton

- Definizione e caratterizzazione delle curve caratteristiche. 

- Principio variazionale di Hamilton. 

- Dimostrazione della formula magica di Carta tramite la variazione del funzionale di azione 

Invariante integrale di Poincaré e il principio variazionale di Maupertuis: tempo ed energia come variabili coniugate.

- Livelli regolari di energia, forma di Liouville indotta e caratterizzazione del nucleo del suo differenziale esterno.
- Teorema di Maupertuis.Teoremi degli Invarianti integrali  a energia fissata e a tempo fissato.

Un’Applicazione dei metodi variazionali: Esistenza di Orbite periodiche su ipersuperfici di energia.

- intro del problema. Campi hamiltoniani sullo stesso livello di energia, campi paralleli.
- Dimostrazione del Teorema di Rabinowitz e Weinstein: l’Esistenza di un’ orbita periodica su un livello di energia che è il bordo C^2 di una regione compatta e strettamente convessa di R^2n.