ベイズ統計と頻度論の関係については，以下の2つの異なった視点がある．

１．統計量の事後分布と頻度論的分布が一定の条件下で似ている

２．事後分布の中に推定量の頻度論的評価に必要な情報が含まれている

「モデルが母集団を表現でき，事後分布の正規近似がよいとき，確信区間と信頼区間が近似的に一致する」というのは１の例である．これに対し「情報量規準WAICの補正項が事後分散で表現される」のは2の例である．

　興味深いことに，１と２のどちらにおいても，統計物理でいう線形応答公式（揺動散逸定理）が重要な役割を果たす．線形応答といっても，時間を含まない古典系の〈揺らぎと相関の関係〉のレベルであるが，そういう解釈ができるのは興味深い．ただし，１と２において，線形応答公式のあらわれ方は全く異なる．

　１においてあらわれるのは「頻度論的分布（母集団からの繰り返し抽出で生じる分布）」に対する線形応答である．具体的にはFisher情報行列のIとJが等しいことが線形応答公式に相当する [1]．このことは古くから指摘されてきたと思われるが，これが正則モデルの場合の事後分布と頻度論的分布の漸近的一致のカギとなることはもっと認識されてよい．

　2において重要なのは「事後分布」に対する線形応答，特に個々の観測値につけた重みに関するものである．これは統計学ではlocal case sensitivity公式 [2,3]として知られているが，統計物理の目からすると線形応答そのものである．これを利用することで，ベイズ期待値や予測分布に関するさまざまな頻度論的な推論をMCMCの繰り返しなしで実装することができる [4,5]．WAICの補正項はその１例である．

　現在，講演者が主に興味を持っているのは2だが，これについては今後も話す機会があると思うので [6]，今回は，ベイズ統計と頻度論のつながりについての話から，１を中心にして話し，２については時間の許す範囲で触れることとしたい．

　おまけとして「一般に成り立つことでも指数型分布限定で式を書き下してみると，直観的によくわかる」ということも示したい．

[1] 学生時代の講義で聞いた等の話を耳にする．岩波データサイエンスVol.2をお持ちの方はp.128-129のコラムにコンパクトな説明を書いたので参照されたい．

[2] Perez, C., Martin, J., and Rufo, M. (2006). MCMC-based local parametric sensitivity estimations. Computational, Statistics & Data Analysis, 51:823-835.

[3] Millar, R. and Stewart, W. (2007). Assessment of locally influential observations in Bayesian models. Bayesian Analysis, 2:365-384.

[4] Giordano, R. and Broderick, T. (2023). The Bayesian infinitesimal jackknife for variance. arXiv:2305.06466.

[5] Iba, Y. (2023). W-kernel and essential subspace for frequencist's evaluation of Bayesian estimators. arXiv:2311.13017.

[6] 最近やったオンライン講演のアブストラクトはこちら（既に終了）https://www-mmds.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/structure/activity/ai_data.php?id=65