3-Я НЕДЕЛЯ

ЗАДАЧИ НА РАСКРАСКИ

ПРИМЕРЫ

1. Из доски 8 * 8 вырезали угловую клетку. Можно ли получившийся остаток разрезать на прямоугольники 3 * 1?

Решение: Раскрасим клетки доски в диагональном порядке в три цвета. При такой раскраске при любом расположении фигурки 3 * 1 она закрывает по одной клетке разного цвета, значит, если бы мы смогли разрезать прямоугольник на фигурки 3 * 1, то квадратиков каждого цвета было бы равное количество, а у нас цвета 1 – 21 клетка, цвета 2 – 22 клетки. Значит, нельзя разрезать. Ответ: нельзя.

2.  Может ли Карлсон на спор с Малышом обойти шахматным конём всю шахматную доску размером 

7 * 7 так, чтобы конь побывал на каждой клетке по одному разу и вернулся в начальную клетку?

Решение: Пусть конь стоит на чёрном поле. После очередного хода он окажется на белом поле, т. е. при движении коня цвет поля чередуется. Если конь обойдёт все клетки доски по одному разу, он сделает 48 ходов и окажется на клетке того же цвета, что и клетка с которой он вышел. С неё на начальную клетку, которая того же цвета, он за оставшийся ход не попадёт. Ответ: не может.

ЧТО МОЖНО ПОЧИТАТЬ ПО ТЕМЕ

1. https://olimpiadiksoch5.blogspot.com/p/blog-page_46.html

2. http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.sms6.raskr&solution=1

3. https://foxford.ru/wiki/matematika/raskraski?utm_referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Можно ли разрезать квадрат 10 х 10 на прямоугольники 1 х  4? 

2. Отметьте на доске  8 х 8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.  

3.  Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом «верблюда» с произвольного поля на соседнее? 

4. В каждой клетке доски в 5 х 5 клеток сидел жук. Затем каждый жук переполз на соседнюю (по стороне) клетку. Докажите, что осталась хотя бы одна пустая клетка. 

5. Дана доска в 19 х 19 клеток. На каждой клетке поставлено по шашке. Можно ли переставить шашки так, чтобы каждая шашка оказалась на соседней клетке (по горизонтали или по вертикали, но не диагонали)? 

6. Докажите, что плоскость можно раскрасить девятью красками так, что никакие две точки одного цвета не будут находиться на расстоянии 1 м друг от друга.