Las álgebras de Lie constituyen un objeto algebraico que ha estado intimamente ligado a la topología practicamente desde su nacimiento. En esta charla trataremos de hacer un breve repaso de esta conexión entre álgebras de Lie y teoría de homotopía, desde sus inicios hasta los últimos y mas sofisticados avances en homotopía racional.

Plethysm is a substitution operation in the ring of formal power series in infinitely many variables. It was introduced in the context of unlabelled enumeration (Pólya, 1937) in combinatorics and in representation theory (Littlewood, 1944). Operads have long been a standard tool in topology, algebra and category theory, and they are becoming increasingly important also in combinatorics.

Decomposition spaces, certain simplicial spaces introduced by Gálvez, Kock, and Tonks (and independently by Dyckerhoff and Kapranov under the name 2-Segal spaces), provide a general framework for incidence coalgebras in objective combinatorics. It was shown by Kock and Weber that operads give rise to Segal groupoids, a special kind of decomposition spaces. We may therefore refer to the incidence coalgebra of an operad. For instance, the incidence coalgebra associated to the commutative operad is the Faà di Bruno bialgebra, whose comultiplication is dual to ordinary substitution of formal power series. We will recover plethysm from the incidence coalgebra of a certain operad. This operad is obtained from the commutative operad in a way that can be generalized to an endofunctor in the category of operads. This allows us to produce operads for other kinds of plethysm.

We build a new version of the Witten genus, which is a particular Hirzebruch genus, for Spin^c manifolds. This is based on preliminary work in [Gálvez-Tonks, 2002]

We then generalize the work in [Gálvez-Tonks, 2003] to this genus, and use Sage to compute this values of this genus on particular families of manifolds.

We begin recalling some necessary definitions and results on Spin, String and Spin^c manifolds and the corresponding cobordism classes. We give the notions of genus, and its associated logarithm and characteristic power series, which fully determine the genus in question. The important classical examples for us are the elliptic genus and the Witten genus.

The core of our work is the introduction and calculation of a Spin^c-Witten genus, obtained by modifying the characteristic power series of Witten. As well as generalizing some known relations for the values of the Witten genus on several families of manifolds, we develop Sage code to perform explicit calculations of the values of this new genus on these families.

The incidence algebra of a locally finite poset is an important construction in algebraic combinatorics, with applications to many fields of mathematics, most notably Möbius inversion. Recently, Gálvez, Kock, and Tonks generalised this to a general homotopical framework through the notion of decomposition spaces, certain simplicial $\infty$-groupoids. They constructed a kind decomposition space of all Möbius intervals and conjectured that it is universal in a certain sense. In this talk we sketch a proof of the conjecture in the case of discrete decomposition spaces.

In this work we describe a theory of a cumulative distribution function (in short, cdf) on a separable linearly ordered topological space (LOTS) from a probability measure defined in this space. This function can be extended to the Dedekind-MacNeille completion of the space where it does make sense to define the pseudo-inverse. Moreover, we study the properties of both functions (the cdf and the pseudo-inverse) and get results that are similar to those which are well-known in the classical case. For example, the pseudo-inverse of a cdf allows us to generate samples of a distribution and give us the chance to calculate integrals with respect to the related probability measure. Finally, we give some conditions such that there is an equivalence between probability measures and distribution functions defined on a separable LOTS, like it happens in the classical case. What is more, we prove that the pseudo-inverse of the cumulative distribution function is univocally related to a probability measure. From this theory, some applications have arisen, such as a goodness-of-fit test.

Las categorías de modelos fueron definidas por Daniel Quillen con el objetivo de generalizar la teoría de homotopía construida en espacios topológicos. En la charla damos su definición y estudiamos sus características principales, tal y como hicimos en un trabajo conjunto con Enrique Arrondo. Tan sólo con esto, seremos capaces de definir análogos de algunas nociones bien conocidas, como los objetos cilíndricos, los espacios de caminos y las homotopías. Utilizándolos, podremos construir una teoría de homotopía. Finalmente, daremos algunos ejemplos, como son la propia categoría de espacios topológicos o la categoría de complejos de cadenas de módulos sobre un anillo. Con respecto al segundo de ellos, estamos en camino de estudiar sus aplicaciones en el contexto de las sucesiones y sistemas espectrales junto con Ana Romero y Andrea Guidolin.

Higher limits are derived functors of the limit construction. Classically they are computed using tools from homological algebra. In algebraic topology, the cohomology of a colimit of spaces can be computed from the higher limits of the functor obtained from the cohomology of the spaces involved. In particular, if the higher limits vanish, then the cohomology of the colimit is just the limit of the cohomologies. In this talk we will show how we can use the techniques from model categories, inspired in homotopy theory, to describe higher limits. When the indexing category is a poset, we will describe explicit bounds for the vanishing of higher limits in terms of properties of the functor.

Todo enlace es la clausura de una trenza. Partiendo de esto, hemos encontrado una estrategia para obtener una trenza a partir de cualquier enlace pretzel. Esta estrategia se inspira en la de Cromwell, que aprovecha que la complejidad de los círculos de Seifert en las trenzas es siempre cero. Se han desarrollado 2 nuevos movimientos que disminuyen de forma controlada la complejidad, de forma que nuestra estrategia los encadena de forma concreta para llegar a la trenza. Finalmente se ha materializado la estrategia en un algoritmo que ha sido implementado en una página web para estar accesible de forma rápida y cómoda.

La homología persistente es una de las herramientas más exitosas dentro del Análisis Topológico de Datos, y ha sido aplicada en campos científicos enormemente variados tales como medicina, neurociencia o robótica. No obstante, cuenta con la limitación de no poder incorporar información respecto a la dirección.

En esta charla introducimos una teoría de homología persistente para complejos simpliciales dirigidos que es sensible a la orientación. Lo haremos introduciendo una teoría de homología para estos objetos con coeficientes en semianillos, de tal modo que una elección apropiada de semianillo de coeficientes nos permita detectar exclusivamente la información deseada.

La Homología persistente es una herramienta para estudiar características topológicas en datos estadísticos. La Persistencia Zigzag, propuesta por G. Carlsson y V. de Silva, es una extensión de esta metodología que permite que las aplicaciones que conectan los espacios topológicos tengan dirección arbitraria. Vamos a estudiar un algoritmo constructivo que descompone estos `diagramas zigzag' de manera análoga a los barcodes.

Una cuestión fundamental en topología algebraica es la de la transferencia de estructuras algebraicas a través de equivalencias homotópicas, e.g. reconocer qué tipo de estructura hereda un espacio que sea homotópicamente equivalente a un grupo/monoide... El problema principal es que la estructura transferida sólo satisface los axiomas correspondientes en una versión relajada: salvo una jerarquía de homotopías coherentes. Para poder tratar con estos problemas, grandes matemáticos como Stasheff, Boardman, Vogt o May llegaron a la magnífica idea de empaquetar las operaciones que tiene una estructura algebraica en una familia de espacios, dando lugar a lo que se conoce como operads. La flexibilidad de estas operads las hace increiblemente útiles en una variedad de campos como el álgebra, la geometría o la física matemática. En esta charla expositiva, intentaremos revisar y motivar los fundamentos de esta potente herramienta con un ojo puesto en algunas aplicaciones.

El caracter clasificante del espacio B aut(X) es ampliamente conocido, donde aut(X) es el monoide de autoequivalencias homotópicas de X. Sin embargo, podemos considerar ciertos submonoides aut_H(X) asociados a un subgrupo normal H del grupo pi_0(aut(X)). Un ejemplo bastante estudiado de tales submonoides es el de las autoequivalencias homotópicas de X que son la identidad en homología. En esta charla se definirá el concepto de H-fibraciones y se probará que estas son clasificadas por el espacio B aut_H(X), así como la relación de estos espacios con la teoría de homotopía racional.

Los espacios de descomposición fueron introducidos, en primer lugar, por T. Dyckerhoff y M. Kapranov bajo el nombre de espacios de 2-Segal unitarios. De manera independiente, y empezando con una motivación muy diferente, I. Gálvez, J. Kock y A. Tonks llegaron a una noción equivalente, que es la que lleva el nombre de espacio de descomposición. Dichos espacios surgieron como una herramienta capaz de generalizar estructuras algebraicas tales como álgebras, coálgebras, biálgebras y álgebras de Hopf en el nivel homotópico.

Por otra parte, motivados, entre otras cosas, por las aplicaciones en topología algebraica, N. Ray y W. Schmitt introdujeron una categoría de objetos combinatorios denominados conjuntos celulares. Su principal objetivo es, de manera similar a lo que ocurre con los espacios de descomposición, construir las mismas estructuras algebraicas en el nivel de conjuntos celulares, hecho que indujo a Gálvez, Kock y Tonks a pensar que las construcciones de Ray y Schmitt podían ser interpretadas en términos de espacios de descomposición.

En esta charla, se introducirá un trabajo hecho bajo la supervisión de Imma Gálvez, Pere Pascual y Andrew Tonks, en donde se construye una relación entre los espacios de descomposición y los conjuntos celulares mediante un funtor, llamado funtor de celularización, entre la categoría de conjuntos celulares y una determinada categoría de spans de grupoides discretos sujeta a ciertas condiciones, permitiendo así trabajar la teoría de conjuntos celulares en el contexto más reciente de espacios de descomposición.