1. 研究主題
1. 研究主題
本研究計畫是以可積系統中的偏微分方程方法--Inverse Scattering Transform(IST)方法為主及其他方法為輔,並以 Korteweg de Vries 方程(Kdv 方程)與 Schrodinger方程為例。
本研究計畫是以可積系統中的偏微分方程方法--Inverse Scattering Transform(IST)方法為主及其他方法為輔,並以 Korteweg de Vries 方程(Kdv 方程)與 Schrodinger方程為例。
2. 背景介紹與目標
2. 背景介紹與目標
早在 1934 年,蘇格蘭造船工程師 Russell 發現了孤立子(Soliton)的現象--水面上滾動的水波以每小時 8-9 英里的速度向前滾動,持續超過一英里。隨後在許多非線性演化方程也發現了這些現象,而這些非線性方程也具有一些共同的特徵(在此,先暫稱這類的方程式屬於可積系統)。在一般的非線性偏微分方程中,求正解(exact solution)幾乎是不可能的。 但在可積系統中,一些方程卻可以透過IST 方法,來求得正解。這種方法的特殊之處在於透過一些變換,將方程化成一類的線性方程,進而求正解。 IST 方法由 Gardner-Greene-Kruskal-Miura 用來處理 Kdv 方程,隨後 Lax, Zakharov-Shabat 與 Ablowitz-Kaup-Newell-Suger (AKNS)等
早在 1934 年,蘇格蘭造船工程師 Russell 發現了孤立子(Soliton)的現象--水面上滾動的水波以每小時 8-9 英里的速度向前滾動,持續超過一英里。隨後在許多非線性演化方程也發現了這些現象,而這些非線性方程也具有一些共同的特徵(在此,先暫稱這類的方程式屬於可積系統)。在一般的非線性偏微分方程中,求正解(exact solution)幾乎是不可能的。 但在可積系統中,一些方程卻可以透過IST 方法,來求得正解。這種方法的特殊之處在於透過一些變換,將方程化成一類的線性方程,進而求正解。 IST 方法由 Gardner-Greene-Kruskal-Miura 用來處理 Kdv 方程,隨後 Lax, Zakharov-Shabat 與 Ablowitz-Kaup-Newell-Suger (AKNS)等
數學家更加推廣,並使用於更多非線性方程。而 IST 方法也與其他隨之發展的方法,如 Backlund 變換、Hirota 方法、Isomonodromy 方法、Riemann-Hilbert 方法(RH 方法)...等,完備了近代可積系統的發展。值得一提的是,RH 方法是Deift-Zhou 用來研究可積系統的解的漸進行為。在處理可積系統中的偏微分方程中,有些獨特的方法並不常見於一般的偏微分方程基礎課程中。希望參與的同學通過這專題研究,能夠瞭解 IST 方法在可積系統的應用。本活動另一個隱含的目的是,參與的學生可以在這活動後開始研讀 Deift-Zhou 在 RH 方法的相關研究。
數學家更加推廣,並使用於更多非線性方程。而 IST 方法也與其他隨之發展的方法,如 Backlund 變換、Hirota 方法、Isomonodromy 方法、Riemann-Hilbert 方法(RH 方法)...等,完備了近代可積系統的發展。值得一提的是,RH 方法是Deift-Zhou 用來研究可積系統的解的漸進行為。在處理可積系統中的偏微分方程中,有些獨特的方法並不常見於一般的偏微分方程基礎課程中。希望參與的同學通過這專題研究,能夠瞭解 IST 方法在可積系統的應用。本活動另一個隱含的目的是,參與的學生可以在這活動後開始研讀 Deift-Zhou 在 RH 方法的相關研究。
3. 內容規劃
3. 內容規劃
本計畫將分成兩個部分: 第一部分由授課老師講授 Kdv 方程的基本性質、IST 方法(Kdv 方程與 Schrodinger 方程)和相關的方法;第二部分是參與的同學將研讀其衍伸的題材。
本計畫將分成兩個部分: 第一部分由授課老師講授 Kdv 方程的基本性質、IST 方法(Kdv 方程與 Schrodinger 方程)和相關的方法;第二部分是參與的同學將研讀其衍伸的題材。
指導老師將講授以下的主題(預計 12~15 小時)[Ref 1.2]:
指導老師將講授以下的主題(預計 12~15 小時)[Ref 1.2]:
(1) The Korteweg-de Vries equation as the prime example of a soliton equation.
(1) The Korteweg-de Vries equation as the prime example of a soliton equation.
(2) Lax pair representations of soliton equations.
(2) Lax pair representations of soliton equations.
(3) The inverse-scattering transform for the cubic nonlinear Schrodinger equation
(3) The inverse-scattering transform for the cubic nonlinear Schrodinger equation
(a) The direct transform: Jost solutions for the Zakharov-Shabat scattering
(a) The direct transform: Jost solutions for the Zakharov-Shabat scattering
problem.
problem.
(b) The inverse transform: formulation of a matrix Riemann-Hilbert problem.
(b) The inverse transform: formulation of a matrix Riemann-Hilbert problem.
(c) Time evolution of scattering data.
(c) Time evolution of scattering data.
(d) Reflectionless potentials and solitons. Darboux transformations
(d) Reflectionless potentials and solitons. Darboux transformations
(4) Unified transform method
(4) Unified transform method
(5) WKB method
(5) WKB method
參與的同學在第一週的授課後,將研讀參考資料[Ref 4]: Kdv 方程的推導、從Kdv 方程至 Nonlinear Schrodinger 方程等題材後,並在第二週報告。接下來,參與的同學將進一步依興趣選讀以下的題材:
參與的同學在第一週的授課後,將研讀參考資料[Ref 4]: Kdv 方程的推導、從Kdv 方程至 Nonlinear Schrodinger 方程等題材後,並在第二週報告。接下來,參與的同學將進一步依興趣選讀以下的題材:
(1) Toda Lattice and IST
(1) Toda Lattice and IST
(2) Hirota 方法
(2) Hirota 方法
(3) [Ref 3]
(3) [Ref 3]
Reference
Reference
1. Drazin and Johnson, Solitons: an introduction, Cambridge University Press
1. Drazin and Johnson, Solitons: an introduction, Cambridge University Press
2. Miller, What is.... the inverse scattering theory
2. Miller, What is.... the inverse scattering theory
3. Fokas, A unified transform method for solving linear and certain nonlinear
3. Fokas, A unified transform method for solving linear and certain nonlinear
PDEs, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 453 , 1997
PDEs, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 453 , 1997
4. Ablowitz, Nonlinear Dispersive Waves, Cambridge University Press
4. Ablowitz, Nonlinear Dispersive Waves, Cambridge University Press