Homologia Persistente & Aplicaciones

El objetivo principal del curso es presentar los fundamentos matematicos de la teoria de Homologia Persistente, una de las principales herramientas computacionales actuales para el Analisis Topologico de Datos.

Data una nube de puntos, pensada como muestra aleatoria (con ruido) de un espacio topologico, queremos inferir propiedades del tipo homotopico del espacio subyacente a partir de la muestra. En este curso nos centraremos en la inferencia de su homologia.

Recomiendo ver la siguiente introduccion animada a Homologia Persistente by Mathew Wright, para tener una idea preliminar del tema de la materia.

La materia consta de 4 módulos. Dada la duracion del curso, solo exploraremos en profundidad parte de los contenidos y otros se presentaran para potencial futura exploración de los alumnos en el final oral.

HP 1. Topologia

Complejos simpliciales. Nubes de puntos y filtraciones a partir de espacios metricos finitos (Cech, Vietoris-Rips). Aproximacion homotopica: Teorema del Nervio, Teorema de Weinberger-Smale-Niyogi. Homología simplicial. Homología persistente.

HP 2. Algebra

Modulos de persistencia, homologia persistente. Teorema de estructura, barcodes y diagramas de persistencia. Distancia Bottleneck e Interleaving. Teorema de estabilidad. Homologia persistente multiparámetro y ejemplos de filtraciones multiparámetro. Conexión con teoría de representaciones de módulos.

HP 3. Estadistica

Teoremas de convergencia. Intervalos de confianza para diagramas de persistencia y promedios. 

HP 4. Algoritmos y aplicaciones

Algoritmos y software para calculo de homologia persistente. Complejidad computacional. Analisis de datos mediante modelos topologicos. Aplicaciones a problemas reales (sistemas dinamicos, medicina, neurociencia, biologia, entre otros).

• Boissonnat, Jean-Daniel, Frederic Chazal, and Mariette Yvinec. Geometric and Topological Inference. Cambridge University Press, 2018.

• Carlsson, Gunnar. Topology and data. Bulletin of the American Mathematical Society. 46.2 (2009): 255-308.

• Edelsbrunner, Herbert, and John Harer. Persistent homology - a survey. Contemporary Mathematics. 453.26 (2008): 257-282.

• Edelsbrunner, Herbert, and John L. Harer. Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Society, 2010.

• Edelsbrunner, Herbert. A short course in computational geometry and topology. No. Mathematical methods. Berlin: Springer, 2014.

• Ghrist, Robert. Barcodes: the persistent topology of data. Bulletin of the American Mathematical Society. 45.1 (2008): 61-75.

• Kaczynski, Tomasz, Konstantin Michael Mischaikow, and Marian Mrozek. Computational homology. Vol. 157. No. 2. New York: Springer, 2004.

• Oudot, Steve Y. Persistence theory: from quiver representations to data analysis. Vol. 209. Providence: American Mathematical Society, 2015.

• Polterovich, Leonid; Rosen, Daniel; Samvelyan, Karina; Zhang, Jun. Topological persistence in geometry and analysis. University Lecture Series, 74. American Mathematical Society, Providence, RI, 2020. 

• Nanda, Vidit. Computational Algebraic Topology. Lecture Notes Course Oxford University.

• Rabadan, Raul, and Andrew J. Blumberg. Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology. Cambridge University Press, 2019.

• Zomorodian, A., Carlsson, G. Computing Persistent Homology. Discrete Comput Geom 33, 249–274 (2005).

Disclaimer: Las notas de las clases pueden contener typos/errores.

• Clase 1: Espacios métricos, complejos simpliciales y filtraciones

• Clase 2: Homologia y persistencia

• Clase 3: Modulos de persistencia y barcodes (algebra)

• Clase 4: Modulos de persistencia y barcodes (geometria)

• Clase 5: Homologia persistente y barcodes (estadistica)

• Clase 6: Algoritmos. Notebook Google Colab

• Clase 7: Aplicaciones

Algunos trabajos de investigacion de potencial interes para el final.

• A unified view on the functorial nerve theorem and its variations. U. Bauer, M. Kerber, F. Roll, A.Rolle.

• Graph approximations to geodesics on embedded manifolds. M. Bernstein, V. de Silva, J.C. Langford, J.B. Tenenbaum.

• Coverage in sensor networks via persistent homology. V. de Silva, R. Ghrist.

• An introduction to multiparameter persistence. Botnan & Lesnick. (2023)

• Confidence sets for persistence diagrams. Fassi et. al. (2014)

• Frechet mean for distributions of persistence diagrams. Turner, Mileyko, Mukherhee & Harer (2019).

• The density of expected persistence diagrams and its kernel based estimation. Chazal & Divol (2019)

• Average complexity of matrix reduction for clique filtrations. Barbara Giunti, Guillaume Houry, and Michael Kerber (2025).

• Intrinsic persistent homology via density-based metric learning. X. Fernandez, E. Borghini, G. Mindlin and P. Groisman. Journal of Machine Learning Research, 24 (2023) no. 75, 1-42.

• Strong collapse and persistent homology. Boissonnat, J. D., Pritam, S., & Pareek, D. (2023) and Computing persistent homology of flag complexes via strong collapses. Boissonnat, J. D., & Pritam, S. (2018).

• Persistent extensions and analogous bars: data-induced relations between persistence barcodes. Hee Rhang Yoon, Robert Ghrist y Chad Giusti. (2023)

• On the Hofer-Zehnder conjecture. E. Shelukhin. Annals of Mathematics. (2022)

• A framework for differential calculus on persistence barcodes.  Leygonie, J., Oudot, S., & Tillmann, U. (2022). Foundations of Computational Mathematics, 22(4), 1069-1131.

•  A weak characterisation of the Delaunay triangulation. de Silva, V. Geom. Dedicata (2008) and Topological estimation using witness complexes. de Silva, V., Carlsson, G.: In: Proc. Symp. Point-Based Graphics, pp. 157–166 (2004).

• Otter, N., Porter, M.A., Tillmann, U. et al. A roadmap for the computation of persistent homology. EPJ Data Sci. 6, 17 (2017)

Listado de softwares para calcular homogia persistente, con sus caracteristicas:

• CAT: The Computational and Applied Topology List

Durante el curso usaremos Ripser.

• Demo Online

• Ripser for Python

• Referencia: Bauer, U. Ripser: efficient computation of Vietoris–Rips persistence barcodes. J Appl. and Comput. Topology 5, 391–423 (2021).