Materia optativa para Licenciatura y Doctorado en Matematicas
Profesora: Ximena Fernandez
Email: ximena.fernandez@city.ac.uk
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Pre-inscripcion: aquí (obligatoria para recibir las novedades de la materia)
Carga horaria: 6 horas semanales (4hs teoricas, 2hs practicas), 4 semanas, segundo cuatrimestre 2025.
Puntaje: 1 punto
Requisitos: Topologia, Probabilidades y Estadistica
Cuando: Septiembre 2025, Martes y Viernes 15 a 18 hs
Donde: Aula 7 Pab 1 (martes), Aula 1206 Pab 0+inf (viernes).
El objetivo principal del curso es presentar los fundamentos matematicos de la teoria de Homologia Persistente, una de las principales herramientas computacionales actuales para el Analisis Topologico de Datos.
Data una nube de puntos, pensada como muestra aleatoria (con ruido) de un espacio topologico, queremos inferir propiedades del tipo homotopico del espacio subyacente a partir de la muestra. En este curso nos centraremos en la inferencia de su homologia.
Recomiendo ver la siguiente introduccion animada a Homologia Persistente by Mathew Wright, para tener una idea preliminar del tema de la materia.
La materia consta de 4 módulos. Dada la duracion del curso, solo exploraremos en profundidad parte de los contenidos y otros se presentaran para potencial futura exploración de los alumnos en el final oral.
HP 1. Topologia
Complejos simpliciales. Nubes de puntos y filtraciones a partir de espacios metricos finitos (Cech, Vietoris-Rips). Aproximacion homotopica: Teorema del Nervio, Teorema de Weinberger-Smale-Niyogi. Homología simplicial. Homología persistente.
HP 2. Algebra
Modulos de persistencia, homologia persistente. Teorema de estructura, barcodes y diagramas de persistencia. Distancia Bottleneck e Interleaving. Teorema de estabilidad. Homologia persistente multiparámetro y ejemplos de filtraciones multiparámetro. Conexión con teoría de representaciones de módulos.
HP 3. Estadistica
Teoremas de convergencia. Intervalos de confianza para diagramas de persistencia y promedios. Filtraciones basadas en la densidad de la muestra. Bootstrap.
HP 4. Algoritmos y aplicaciones
Algoritmos y software para calculo de homologia persistente. Complejidad computacional. Analisis de datos mediante modelos topologicos. Aplicaciones a problemas reales (sistemas dinamicos, medicina, neurociencia, biologia, entre otros).
Boissonnat, Jean-Daniel, Frederic Chazal, and Mariette Yvinec. Geometric and Topological Inference. Cambridge University Press, 2018.
Carlsson, Gunnar. Topology and data. Bulletin of the American Mathematical Society. 46.2 (2009): 255-308.
Edelsbrunner, Herbert, and John Harer. Persistent homology - a survey. Contemporary Mathematics. 453.26 (2008): 257-282.
Edelsbrunner, Herbert, and John L. Harer. Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Society, 2010.
Edelsbrunner, Herbert. A short course in computational geometry and topology. No. Mathematical methods. Berlin: Springer, 2014.
Ghrist, Robert. Barcodes: the persistent topology of data. Bulletin of the American Mathematical Society. 45.1 (2008): 61-75.
Kaczynski, Tomasz, Konstantin Michael Mischaikow, and Marian Mrozek. Computational homology. Vol. 157. No. 2. New York: Springer, 2004.
Polterovich, Leonid; Polterovich, Leonid; Rosen, Daniel; Samvelyan, Karina; Zhang, Jun. Topological persistence in geometry and analysis. University Lecture Series, 74. American Mathematical Society, Providence, RI, 2020.
Nanda, Vidit. Computational Algebraic Topology. Lecture Notes Course Oxford University.
Rabadan, Raul, and Andrew J. Blumberg. Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology. Cambridge University Press, 2019.
Zomorodian, A., Carlsson, G. Computing Persistent Homology. Discrete Comput Geom 33, 249–274 (2005).
Disclaimer: Las notas de las clases pueden contener typos/errores.
Clase 1: Espacios metricos, complejos simpliciales y filtraciones
Algunos trabajos de investigacion de potencial interes para el final.
A Unified View on the Functorial Nerve Theorem and its Variations. U. Bauer, M. Kerber, F. Roll, A.Rolle.
Graph approximations to geodesics on embedded manifolds. M. Bernstein, V. de Silva, J.C. Langford, J.B. Tenenbaum.
Coverage in sensor networks via persistent homology. V. de Silva, R. Ghrist.
Finding the homology of hubmanifolds with high confidence from random samples. Niyogi, P., Smale, S. & Weinberger, S.
Otter, N., Porter, M.A., Tillmann, U. et al. A roadmap for the computation of persistent homology. EPJ Data Sci. 6, 17 (2017)
Listado de softwares para calcular homogia persistente, con sus caracteristicas:
CAT: The Computational and Applied Topology List
Durante el curso usaremos Ripser.
Referencia: Bauer, U. Ripser: efficient computation of Vietoris–Rips persistence barcodes. J Appl. and Comput. Topology 5, 391–423 (2021).
Base de datos de aplicaciones de topologia
DONUT: Database of Original & Non-theoretical Uses of Topology
Algunas de mis aplicaciones de homologia persistente (en colaboracion con computadores, fisicos, neurocientificos y hasta Spotify!):
W. Reise, X. Fernandez, M. Dominguez. H. A. Harrington and M. Beguerisse-Diaz, Topological fingerprints for audio identification. SIAM Journal on Mathematics of Data Science Vol. 6 Iss. 3 (2024).
X. Fernandez, E. Borghini, G. Mindlin and P. Groisman. Intrinsic persistent homology via density-based metric learning. Journal of Machine Learning Research, 24 (2023) no. 75, 1-42.
S. Benas, X. Fernandez and E. Kropff. Modeled grid cells aligned by a flexible attractor. eLife (2023) 12:RP89851.
X. Fernandez and D. Mateos. Topological biomarkers for real-time detection of epileptic seizures. Preprint. (2022) arxiv:2211.02523.
Un canal de Youtube con Tutoriales, Seminario de charlas de investigacion y Aplicaciones de Topologia Algebraica.