Miten David Hilbert valitsi Pariisissa vuonna 1900 esittämänsä yhtälöt, joista yhdestä tuli sitten millenium-ongelma?

Kimmo Huosionmaa B.Sc.,BBA

Riemannin konjektuuria pidetään matematiikan runsaudensarvena, ja samalla tietenkin tuon yhtälön merkitys esimerkiksi kryptologian alalla ymmärretään varmasti nykyään paljon paremmin kuin itse kuuluisan matemaatikko Riemannin elinaikana. Olen kirjoittanut jonkin verran ennenkin tästä kuuluisasta kaavasta, jolla voidaan laskea ääretön määrä alkulukuja, ja kuten on todettu, niin tälle yhtälölle ei olla vieläkään löydetty nollakohtaa, joten sen takia se on niin upea sarja-yhtälö, koska tuon konjektuurin avulla voidaan kirjoittaa kevyt ohjelma, jolla sitten tietokone osaa laskea alkulukuja, joita käytetään RSA-salauksessa. Tuossa salaus-mallissa ASCII-koodi kerrotaan alkuluvulla, jolloin viesti muuttuu sellaiseksi, että sitä eivät tietokoneet sitten osaa avata.

Mutta tässä sitten en tämän enempää tätä yhtälöä käsittele. Seuraava teksti saattaa tuntua joistakin ihmisistä melko raskaalta, mutta tämän asian käsittely vaatii hiukan lähteiden vertailua, jotta asiavirheitä ei sitten pääsisi syntymään, ja tässä heti aluksi sanon, että Riemannin Konjektuuri on ainoa Hilbertin listalla olevista Millenium-ongelmista. Kuitenkin voidaan sanoa, että jos Bernhardt Riemann olisi elänyt nykyaikana, ja kehittänyt konjektuurin tietokoneen keksimisen jälkeen, niin silloin tuo konjektuuri olisi todennäköisesti valtiosalaisuus. Kuten olisi varmaan myös Poincarén väittämä, jonka mukaan on olemassa yhtälö, jolla voidaan laskea mikä tahansa geometrinen muoto maailmassa.

Tuon yhtälön ratkaisu antoi Grigori Perelman-niminen matemaatikko, ja siinä sitten hän sai tuon yhtälön ratkaisemisesta luvatun miljoona-palkinnon. Tuon yhtälön ratkaisu ei varmaan mikään kovin hyvä asia esimerkiksi FSB:n mielestä ollut, koska tuon yhtälön avulla voidaan laskea esimerkiksi STEALTH-pommittajien muotoja erittäin tarkasti. Voidaan kuitenkin sanoa, että Riemannin konjektuuri sekä Poincarén väittämä ovat erittäin arvoituksellisia matemaattisia yhtälöitä, koska ne kuuluvat listaan matemaattisia ongelmia, joita David Hilbert-niminen matemaatikko kutsui aikoinaan “Millenium”-ongelmiksi.

Tarkemmin ottaen vain yksi noista “Millenium-ongelmista” on “Hilbertin listana” tunnettujen ongelmien joukossa, ja se millennium-ongelma on juuri tämä “Riemannin konjektuuri”, jolla ei varmasti vuonna 1900 ollut vielä mitään käytännön merkitystä yhtään kenellekään. Nuo millenium-ongelmat muuten on luetteloitu seuraavassa luettelossa. Saattaa olla niin, että niitä ei voida ratkaista matemaattisin menetelmin, koska kaikki ne eivät ole matemaattisia kaavoja. Vaan ehkä tämä ensimmäinen kaava eli P=NP on ehkä sitten joko fysiikan tai kemian alaan kuuluva kaava. Mutta tämä on vain sellaista pohdintaa.

P=NP

Hodgen konjektuuri

Poincarén konjektuuri (ratkaistu)

Riemannin hypoteesi

Yang-Millsin olemassaolo

Navierin–Stokesin yhtälöt

Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri

Tietokoneiden kehitys ei ollut tuolloin vielä edes alkutekijöissään, joten mitä tuo suuri matemaatikko Hilbert oikeastaan ajatteli nimetessään “Riemannin konjektuurin” suureksi matemaattiseksi haasteeksi, ja sitten tullaan tietenkin Hilbertin listan viimeiseen ongelmaan, minkä sanamuoto on niin outo, että siitä ei varmaan kovin moni saa oikeasti mitään selvää. Mitä mahtoi Herra professori David Hilbert tarkoittaa sanoilla “Variaatiolaskennan jatkokehitys? Se miten Riemannin konjektuurin kaltaisista ongelmista on muodostunut millenium-ongelmia on nimittäin se arvoitus. Miten Hilbert aikoinaan valitsi tuon kyseisen ongelman listalleen, koska tuolloin kun Hilbert eräässä puheessaan nuo ongelmat listasi ei ollut käytössä tietokoneita tai CAD-ohjelmia, joiden käytössä näistä yhtälöistä on oikeasti hyötyä.

Clayn matemaattinen instituutti on luvannut miljoonan jokaisesta millenium-yhtälön ratkaisemisesta, joka voidaan sitten matemaattisin menetelmin osoittaa todeksi. Mutta kuitenkin itse olen hieman ihmetellyt sitä, miten tuo meille nykyihmisille melko tuntematon matemaatikko David Hilbert vuonna 1900 matemaatikkojen kokouksessa Sorbonnessa oli valinnut ongelmat listalleen. Se mikä tekee Hilbertistä kuuluisan on muuten hänen matemaattisten ongelmien listansa, jossa sitten esiintyy Riemannin konjektuuri. Eli epäileekö Hilbert tehdessään omaa listaansa, että joku valtio olisi tuolloin 1900-luvun alussa peitellyt elektronista laskukonetta, vai miksi hän juuri tällaisista ongelmista oli kiinnostunut? Muuten kyseinen mies on aika tuntematon suuruus matematiikan kivisellä saralla, ja syytä siihen, miksi hän toimi tuon “Hilbertin listan” tapauksessa niin kuin toimi on hiukan mystistä luettavaa.

Kun Hilbert piti puheensa Sorbonnessa tuossa kuuluisassa kokouksessa, niin hän antoi luettelon kuuluisista ongelmistaan vain 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ja 22, ja täydellisen listan hän sitten julkaisi myöhemmin. Tuo hänen listansa löytyy Wikipediasta tai Internetistä ylipäätään hakusanoilla “Hilbertin lista. Se mikä itseäni hiukan hymyilyttää tuossa Hilbertin tavassa esittää asioita on se, että hän matkusti Pariisiin pitämään esitelmää jossain matemaatikkojen kokouksessa, mutta siellä hän esitteli vain osan noista ongelmistaan, ja julkaisi sitten jossain matemaatikkojen lehdessä lopun listan.

Ja tuolloin kyllä varmasti olisi mukavaa saada tietää Pariisin luentosaliin kokoontuneen ihmisjoukon mielipiteen tuosta julkaisusta, koska tuolloin Hilbert ikään kuin petti yleisönsä. Samoin en juurikaan ole kuullut matemaatikkojen pitävän mitään kansainvälisiä kokouksia, joten se tekee tästä Sorbonnen kokouksesta kovin erikoisen. Tuo konferenssi saattaa olla esimerkiksi Isaac Asimovin Säätiö-sarjan matemaatikkojen konferenssin esikuva. “Millenium-palkinnon” arvoiset kaavat ovat sikäli erikoisia, että kun ne esiteltiin suurelle yleisölle, niin tietokoneista ei silloin tiedetty yhtään mitään. Eli niistä ei ollut kenellekään mitään iloa. Tuo saksalainen matemaatikko on muuten kuuluisa noiden ongelmien kautta, eikä siitä että hän mitään kovin suuria asioita olisi muuten matematiikan eteen tehnyt.

Kuitenkin nuo hänen kuuluisat 23 ongelmaansa, joista vain yksi on niin sanottu Millenium-ongelma ovat hyvin merkillisiä asioita. Nimittäin se tutkijoita kiinnostaa, että millä perusteella Hilbert aikoinaan tuon hänen listallaan olevat ongelmat sitten valitsi. Se mikä myös kiinnostaa tutkijoita näissä millenium-ongelmissa on se, että mitähän varten nämä yhtälöt on aikoinaan kirjoitettu, jos niitä ei sitten voida todistaa oikeiksi edes tietokoneiden avulla. Eli miksi joku sitten oli tuollaisia yhtälöitä ruvennut kirjoittamaan, jos hänellä ei ollut niille mitään käyttöä, ja mitä noiden yhtälöiden tekijät sitten olisivat noilla saavutuksillaan tehneet, on myös erittäin arvoituksellista.

Millenium-ongelmat ovat nimittäin siitä erikoisia, että esimerkiksi listan ensimmäisen ongelman P=NP selvittämiseen ei pitäisi hirveän kauan aikaa mennä. Mutta se mikä ongelmassa pistää silmään, on sen ratkaisun näennäinen helppous. Kuitenkaan kyseessä ei ole kovin helppo yhtälö, koska “ P= NP? on laskennan vaativuus-teorian kuuluisimpia ratkaisemattomia ongelmia. Ongelmassa yritetään ratkaista vaativuusluokkien P ja NP suhdetta. P = NP? -ongelma voidaan ilmaista ”Jos jonkin ongelman ratkaisu voidaan tarkastaa tehokkaasti, niin voidaanko ongelma myös ratkaista tehokkaasti?”.

Luokkaan P (polynomial) kuuluvat kaikki ongelmat, jotka tiedetään voitavan ratkaista "tehokkaasti" eli polynomisessa ajassa. Luokkaan NP (non-deterministic polynomial) taas kuuluvat ongelmat, joiden ratkaisun oikeellisuus voidaan tarkistaa tehokkaasti. Määritelmän perusteella P ⊆ NP.

NP-täydelliseksi kutsutaan sellaista luokan NP-ongelmaa, jolle polynomisessa ajassa toimivan ratkaisun löytyminen merkitsisi sitä, että kaikkiin luokan NP-ongelmiin löytyisi polynomisessa ajassa toimiva ratkaisu. NP-täydellisiin ongelmiin kuuluu mm. kauppamatkustajan ongelma ja lukuisia muita tärkeitä ongelmia. Nykyisin kaikki tunnetut NP-täydellisten ongelmien ratkaisu algoritmit ovat ylipolynomisia, eli niiden vaativuus kasvaa erittäin nopeasti ongelman suuruusluokan kasvaessa.

Vaativuusteorian kuuluisimpia ongelmia on näiden kahden luokan välinen suhde eli ”onko P = NP?”.

Clay-instituutti lupasi miljoona dollaria tämän ongelman ratkaisemisesta. Vinay Deolalikar väitti ratkaisseensa ongelman 11. elokuuta 2010.[1] Deolalikarin todistus joutui kuitenkin heti arvostelun kohteeksi.[2] Käytännössä pidettiin jo etukäteen todennäköisenä, ettei lause P = NP pidä paikkaansa eikä NP-täydellisille ongelmille siten voida löytää tehokkaita ratkaisualgoritmeja nykyisenkaltaisille tietokoneille” (Wikipedia)

Onko P=NP ehkä fysiikan tai kemian kaava?

Toki saattaa olla niin, että tuo yhtälö ei ole edes matemaattinen yhtälö, vaan olisiko sitten N oikeasti Newton sekä P olisi sitten ehkä painetta merkitsevä termi. Jolloin P= NP ehkä sitten kaava, jossa paineen tai momentin pitää olla sama kuin fysiikan yksikön Newtonin kerrottuna paineella. Tuolloin kyseessä ei ole mitenkään erityisesti matematiikan piiriin kuuluva tehtävä, vaan fysiikan lasku, jossa Paine= Newton*Paine. mutta miksi tuo yhtälö olisi sitten tehty? Siinä voisi olla sellainen juoni, että jokin köysi vetäisi sitten tiettyä kappaletta vastaan, jossa sitten olisi tietty newton määrä. Tämä tietenkin on vain mietintää, ja siitä saa jokainen olla eri mieltä, mutta voi tietenkin olla niin, että kyseessä on fysiikan tai kemian kaava.

Jos tuo kaava on kemian alaan kuuluva, niin silloin tietenkin se menisi niin, että Fosforin määrän pitäisi reaktiossa vastata fosforin sekä typen määrää, mutta silloinkin tuosta asiasta voidaan keskustella. Eli mitä tuo kemiallinen kaava sitten mahtoi tarkoittaa käytännössä, ja minkä reaktion kaava se olisi. Tuo asia varmasti kiehtoo monia ihmisiä päällä maan.

Lista Hilbertin Pariisissa esittämistä matemaattisista ongelmista: https://fi.wikipedia.org/wiki/Hilbertin_ongelmat