Многообразия Севери-Брауэра являются ярким примером, показывающими насколько жизнь над не алгебраически замкнутым полем может быть более разнообразна, чем над замкнутым. В своём докладе я планирую дать обширный обзор классических результатов, формулировку знаменитой гипотезы Амицура и некоторые продвижения в доказательстве этой гипотезы. В докладе будут даны все необходимые определения и он будет доступен широкому кругу слушателей.

Доклад посвящён истории формальных рядов. Будут рассмотрены важнейшие классические результаты данной области, а также методы доказательства формальных тождеств. Ряд известных тождеств будет доказан с применением этих методов. В заключительной части будут рассмотрены тождества Канаде—Рассела и их комбинаторные интерпретации.

Пусть V --- аффинное алгебраическое множество коразмерности r. Множество V называется теоретико-множественным полным пересечением, если оно задается r уравнениями. Множество V называется локально полным пересечением, если его идеал локально порожден r элементами. Доклад является обзором известных результатов по следующему вопросу: является ли локально полное пересечение теоретико-множественным полным пересечением?

Необходимые определения будут напомнены. Если успеем, обсудим другие вопросы о теретико-множественных полных пересечениях.

На докладе мы обсудим классические теоремы из теории ортогональных многочленов на окружности и сформулируем недавно доказанные оценки устойчивости алгоритма Шура.

Мы обсудим разные геометрические свойства броуновского движения. В частности мы обсудим теорему о том, что размерность траекторий броуновского движения почти наверное равна 2, но мера Хаусдорфа размерности 2 от траектории почти наверное равна 0. Оказывается на самом истинная размерность траекторий логарифмически меньше 2.

Матрицы Тёплица обычно неэрмитовы, и к ним не применимы техники, используемые для эрмитовых матриц. В своей пионерской работе 1960 года Франк Шпицер показал, что собственные значения ленточных матриц Тёплицабольших размерностей накапливаются вдоль определённых предельных множеств, являющихся конечным объединением замкнутых аналитических дуг. Тем не менее, нахождение таких кривых всё ещё остаётся трудной задачей. В докладе мы обсудим трудности, возникающие в этой задаче. С помощью численных расчётов, мы покажем, что предельное множество собственных значений конечных матриц не совпадает со спектром соответствующей матрицы Тёплица.

Для четырёхдиагональных матриц Тёплица мы опишем все виды предельных множеств, классифицируем их особые точки и дадим асимптотические формулы для аналитических дуг возле их концов.

Мы также обсудим нерешённые задачи в этой области.

В первой части доклада мы поговорим об общих принципах криптографии на примере задачи дискретного логарифмирования и арифметики эллиптических кривых. Далее перейдём к так называемым "доказательствам с нулевым разглашением".

Представьте, что вы знаете решение судоку или же какой-то NP-полной задачи. Вы хотите убедить в этом другого человека, не раскрывая явно никаких деталей о том, как решение устроено. Оказывается есть эффективные и изящные способы это сделать. Помимо прочего, мы рассмотрим системы верификации на основе задачи четырех красок, а также задачи построения изоморфизма графов.