В докладе будет рассмотрена задача локальной идентифицируемости параметра-функции в системе ОДУ: x’=f(t,x,p(t)), то есть потенциальная возможность определения фиксированного эталонного параметра по наблюдениям решений на отрезке. Наблюдения будут происходить в конечном множестве точек. Будет рассмотрена постановка задачи для случая совпадения размерности параметра и решения, при этом решения будут наблюдаться в простых нулях определителя производной D(t) правой части по параметру, вычисленной в эталонном параметре; предполагается, что D(t) гладкая. (Выделение в качестве точек наблюдения данных простых нулей объясняется топологической типичностью ситуации, когда определитель матрицы производной по параметру имеет только простые нули). Также будет рассмотрен случай, когда размерность параметра меньше размерности решения: в отличие от вышеуказанного случая мы будем наблюдать решение в точках потери полного ранга производной D(t), но с оговоркой, что ранг теряет не больше единицы.

В докладе будут приведены три доказательства нижней оценки триангуляционной сложности компактного трёхмерного многообразия первым числом Бетти Z_2 гомологии этого многообразия.

Геометризационная программа Уильяма Тёрстона связывает в единый сюжет униформизацию поверхностей, динамическую классификацию гомеоморфизмов поверхностей, геометрическую классификацию узлов и зацеплений и, наконец, геометризацию 3‑многообразий. Её главный тезис гласит: сложная топология малых размерностей кодируется хорошими геометрическими структурами. В докладе я расскажу, как этот сюжет проявляется в теории кос и узлов.

По теореме Александера любое зацепление представляется в виде замкнутой косы, а по теореме Маркова сравнение таких представлений сводится к алгебре в группах кос. Сами косы имеют динамическую природу: группа кос изоморфна группе классов гомеоморфизмов диска с проколами. Это приводит к естественному вопросу: можно ли «увидеть» геометрию и топологию зацепления, наблюдая только за динамикой соответствующей косы? В частности, как динамическая классификация кос (периодические, приводимые и псевдо-аносовские) связана с геометрической классификацией зацеплений (торические, сателлитные и гиперболические)?

Ключевым мостом будет действие группы кос на комплексе дуг и кривых. Я объясню, как асимптотическая динамика — через число переноса — отражает тип косы и служит измерителем «динамической сложности». Затем я покажу, как большие значения этого инварианта ведут к жёстким геометрическим выводам о замыкании косы — и как «наиболее интересная динамика» (псевдо-аносовские косы большой сложности) соответствует «наиболее богатой геометрии» (гиперболические зацепления большого объёма).

Многие задачи математического анализа можно сформулировать на языке оптимизационных функций, которые в свою очередь допускают Беллмановскую постановку. Доклад — знакомство с методом функции Беллмана на примере неравенства Джона-Ниренберга. Суть метода функции Беллмана в том, чтобы из определённых закономерностей пространства функций, на котором поставлена экстремальная задача понять структуру оптимизационной функции, после чего свести задачу нахождения супремума по бесконечномерному пространству к вычислению определённой конечномерной функции. Часто оптимизационная функция оказывается минимальной локально вогнутой функцией, или минимальной функцией из класса удовлетворяющих неравенству напоминающему вогнутость. Мы рассмотрим несколько стандартных концепций теории функций Беллмана на примере пространства BMO, увидим их взаимосвязи, а также пару стандартных трюков этой теории. 

Многообразия Севери-Брауэра являются ярким примером, показывающими насколько жизнь над не алгебраически замкнутым полем может быть более разнообразна, чем над замкнутым. В своём докладе я планирую дать обширный обзор классических результатов, формулировку знаменитой гипотезы Амицура и некоторые продвижения в доказательстве этой гипотезы. В докладе будут даны все необходимые определения и он будет доступен широкому кругу слушателей.

Доклад посвящён истории формальных рядов. Будут рассмотрены важнейшие классические результаты данной области, а также методы доказательства формальных тождеств. Ряд известных тождеств будет доказан с применением этих методов. В заключительной части будут рассмотрены тождества Канаде—Рассела и их комбинаторные интерпретации.

Пусть V --- аффинное алгебраическое множество коразмерности r. Множество V называется теоретико-множественным полным пересечением, если оно задается r уравнениями. Множество V называется локально полным пересечением, если его идеал локально порожден r элементами. Доклад является обзором известных результатов по следующему вопросу: является ли локально полное пересечение теоретико-множественным полным пересечением?

Необходимые определения будут напомнены. Если успеем, обсудим другие вопросы о теретико-множественных полных пересечениях.

На докладе мы обсудим классические теоремы из теории ортогональных многочленов на окружности и сформулируем недавно доказанные оценки устойчивости алгоритма Шура.

Мы обсудим разные геометрические свойства броуновского движения. В частности мы обсудим теорему о том, что размерность траекторий броуновского движения почти наверное равна 2, но мера Хаусдорфа размерности 2 от траектории почти наверное равна 0. Оказывается на самом истинная размерность траекторий логарифмически меньше 2.

Матрицы Тёплица обычно неэрмитовы, и к ним не применимы техники, используемые для эрмитовых матриц. В своей пионерской работе 1960 года Франк Шпицер показал, что собственные значения ленточных матриц Тёплицабольших размерностей накапливаются вдоль определённых предельных множеств, являющихся конечным объединением замкнутых аналитических дуг. Тем не менее, нахождение таких кривых всё ещё остаётся трудной задачей. В докладе мы обсудим трудности, возникающие в этой задаче. С помощью численных расчётов, мы покажем, что предельное множество собственных значений конечных матриц не совпадает со спектром соответствующей матрицы Тёплица.

Для четырёхдиагональных матриц Тёплица мы опишем все виды предельных множеств, классифицируем их особые точки и дадим асимптотические формулы для аналитических дуг возле их концов.

Мы также обсудим нерешённые задачи в этой области.

В первой части доклада мы поговорим об общих принципах криптографии на примере задачи дискретного логарифмирования и арифметики эллиптических кривых. Далее перейдём к так называемым "доказательствам с нулевым разглашением".

Представьте, что вы знаете решение судоку или же какой-то NP-полной задачи. Вы хотите убедить в этом другого человека, не раскрывая явно никаких деталей о том, как решение устроено. Оказывается есть эффективные и изящные способы это сделать. Помимо прочего, мы рассмотрим системы верификации на основе задачи четырех красок, а также задачи построения изоморфизма графов.