На докладе мы обсудим классические теоремы из теории ортогональных многочленов на окружности и сформулируем недавно доказанные оценки устойчивости алгоритма Шура.

Мы обсудим разные геометрические свойства броуновского движения. В частности мы обсудим теорему о том, что размерность траекторий броуновского движения почти наверное равна 2, но мера Хаусдорфа размерности 2 от траектории почти наверное равна 0. Оказывается на самом истинная размерность траекторий логарифмически меньше 2.

Матрицы Тёплица обычно неэрмитовы, и к ним не применимы техники, используемые для эрмитовых матриц. В своей пионерской работе 1960 года Франк Шпицер показал, что собственные значения ленточных матриц Тёплицабольших размерностей накапливаются вдоль определённых предельных множеств, являющихся конечным объединением замкнутых аналитических дуг. Тем не менее, нахождение таких кривых всё ещё остаётся трудной задачей. В докладе мы обсудим трудности, возникающие в этой задаче. С помощью численных расчётов, мы покажем, что предельное множество собственных значений конечных матриц не совпадает со спектром соответствующей матрицы Тёплица.

Для четырёхдиагональных матриц Тёплица мы опишем все виды предельных множеств, классифицируем их особые точки и дадим асимптотические формулы для аналитических дуг возле их концов.

Мы также обсудим нерешённые задачи в этой области.

В первой части доклада мы поговорим об общих принципах криптографии на примере задачи дискретного логарифмирования и арифметики эллиптических кривых. Далее перейдём к так называемым "доказательствам с нулевым разглашением".

Представьте, что вы знаете решение судоку или же какой-то NP-полной задачи. Вы хотите убедить в этом другого человека, не раскрывая явно никаких деталей о том, как решение устроено. Оказывается есть эффективные и изящные способы это сделать. Помимо прочего, мы рассмотрим системы верификации на основе задачи четырех красок, а также задачи построения изоморфизма графов.