Геометрия 1 курс, Басалаев АА

О курсе

В основе своей курс будет следовать курсу геометрии А.Л.Городенцева. Посему основным учебником можно считать его же курс лекций.

Формула оценки: min(300,S+L+K+E)/30 где  S - оценка за семинары,  L - за листки, K - за контрольные --- все как и в первом семестре.

Итоговый экзамен за курс

начнется 21о июня в 10:00 и будет длиться 4 часа. Аудитории 109 и 110.  

Просмотр работ и аппеляция будут проходить 22о июня с 12:00 до 13:30 в ауд.318. 

Программа и умения:  Опубликованы 08.06.23

Лекции

16.06.23 Параболоиды и конусы в евклидовом пр-ве.

09.06.23 Цилиндры. 7 типов коник и 14 типов поверхностей. Параболоид над R гомеоморфен гиперплоскости. Квадрики в евклидовом пр-ве. Гладкие центральные: канонический базис, преобразование движениями. 

05.06.23 Аффинные квадрики. Классификация над произвольным полем и над вещественными числами. Гладкие центральные, параболоиды, простые конусы.

02.06.23 Софокусные коники. Оптические свойства. Угол через двойное отношение. Геометрия парабол. Софокусные параболы.

26.05.23 Софокусные коники. Оптические свойства. Угол через двойное отношение. Геометрия парабол. Софокусные параболы.  

22.05.23 Евклидовы коники. Парабола, гипербола и эллипс. Центр симметрии, главные оси и фокусы центральных коник. Ортогональность на бесконечно удаленной прямой как инволюция.

19.05.23 Пучки коник с двумя и тремя базисными точками. Инволюция Дезарга. 

12.05.23 Пучки квадрик. Базисное множество, кратность. Пучки коник с одной и двумя базисными точками.

27.04.23 Проективные квадрики. Полярное преобразование. Паланрность. Проективная двойственность, проективная классификация квадрик над алгебраически замкнутым полем.

21.04.23 Св-ва двойного отношения, четырёхвершинник, перспективы. Критерий перспективности гомографии. Перекрестная ось гомографии.

17.04.23 Пространство коник. Коника через пять точек. Проективыне изоморфизмы, единственность пр.изоморфизма по образам n+2 точек общего положения. Примеры в размерности 1.

14.04.23 Пересечение квадрики и прямой. Касательные. SingQ. Теорема о "строении" негладкой квадрики. Классификация коник. Параметризация гладкой непустой коники.

07.04.23 Проективные подпространства. Дополнительные подпространства. Проектирование вдоль дополнительных подпространств, Проективное замыкание. 

03.04.23 Проективная геометрия. Аффинные карты, однородные и аффинные координаты. 

24.03.23 Пфаффиан. Симплектическая группа.

20.03.23 Однозначность разложения пр-ва со скалярным произведением в прямую ортогональную сумму гиперболического и анизотропного, корректная определенность сигнатуры квадратичной формы. Грассмановы формы, преобразование при смене базиса, следствие из теоремы Дарбу для кососимметрических матриц.

17.03.23 Обощение метода Якоби-Сильвестра. Метод Гаусса. Отражения относительно анизотропных векторов. Лемма Витта.

10.03.23 Пространства со скалярным произведением. Квадратичные формы, специальный вид. Сигнатура. Метод Якоби-Сильвестра.

06.03.23 (косо)симметрические формы. Ядро, ограничение на дополнение и фактор. Ортогонал и проектирование. Теоремы Лагранжа и Дарбу.  

03.03.23  Группа изометрий. Корреляции. Невырожденность билинейной формы. Изотропные подпространства. Двойственный базис.

20.02.23 Инвариантные углы двух подпространств. Билинейные формы. Симплектическая и гиперболическая формы. Изометрии. 

16.02.23 Доказательство теоремы о полярном разложении. Операторы F^xF, FF^x. Сингулярные направления, SVD разложение.

09.02.23 Самоопряженные операторы операторы. Диагонализуемость.  Теорема о полярном разложении.

06.02.23 Канонический вид матрицы ортогонального оператора. Классификация движений трехмерного аффинного пространства.

03.02.23 Группа ортогональных операторов. Представление ортогонального оператора композицией отражений. Инвариантные подпространства. 

27.01.23 Векторное произведение. Евклидова двойственность.

23.01.23 Расстрояние между афф.подпространствами, угол между вектором и подпространством, объем, матрица Грама. 

20.01.23 Доказательство теоремы об интерполяционном многочлене опущено, ибо дано в курсе алгебре ровно в этот день. Евклидова геометрия. Ортогонализация Грама-Шмидта, ортогональное проектирование в векторных и аффинных пространствах.  

13.01.23 Жорданова форма и жорданов базис. Критерий подобия операторов (Городенцев 9.5). Функции от операторов. Интерполяционный многочлен.  (Городенцев 9.4.1)

09.01.23 Теорема о разложении. Корневое разложение. Разложение оператора в сумму диагонализуемого и нильпотентного.

Контрольная работа 3

Пройдет в конце второй недели учебы (или начале третьей). Знания-умения: применение правил Крамера, нахождение обратной матрицы, вычисление определителя, нахождение собственных и корневых подпространств, минимального многочлена, вычисление функций от операторов.

Задачи для подготовки: Опубликованы 9.01.23

Контрольная работа 4

Пройдет c 20о по 27е февраля. Знания-умения: евликдова геометрия и всё, что связано со скалярным произведением (расстояния, углы, объемы, проектирование), операторы в евклидовом пространстве - ортогональные, самосопряженные, полярное разложение. 

Задачи для подготовки: Опубликованы 11.02.23

Контрольная работа 5

Пройдет 27о и 29о марта. Знания-умения: явное разложение пр-ва со скалярным произведением в сумму анизотропного и гиперболического, приведение квадратичной формы к диагональному виду, вычисление сигнатуры, ортогональное проектирование с помощью билинейной формы.   

В понедельник 27о пишут 224, 225 в 11:00 в аудитории 427.

В среду 29о пишут 221, 222, 223 в 11:00 в аудитоии 109.   

Задачи для подготовки: Опубликованы 20.03.23

Контрольная работа 6

Пройдет ориентировочно в районе 19о мая. Знания-умения: гомографии, двойное отношение, инволюции, касательные в коникам, рациональная параметризация коник.

Задачи для подготовки: Опубликованы 24.04.23