(А.В. Клименко, дедлайн 1 мая)
Необходимая теория излагалась на занятиях. Доказательство близко следовало работе Бёрнса и Хасселблатта.
(А.С. Скрипченко, дедлайн 1 мая)
Необходимая теория излагалась на занятиях. Материалы по теме:
Граф Кэли (достаточно части I — главы 2–4),
(Г.И. Ольшанский, дедлайн 1 июня)
Материалы и задачи подготовлены старшими участниками семинара. Задачи сдаются А.В. Клименко либо А.С. Скрипченко — ниже указан принимающий для каждого блока.
Дедлайн по всем блокам темы 5 июня.
Видеолекция и картинки к ней
Материал по теме.
Дополнительные материалы: 1 и 2
Задачи (принимающий А.В. Клименко):
Задача 1 (0,5 балла). Посчитать фрактальную размерность множества Кантора, квадрата и треугольника Серпинского
Задача 2 (2,5 балла). Рассмотрим следующую последовательность фигур на шестиугольной решётке. Фигура Ф[1] состоит из шести шестиугольников, имеющих общую сторону с фиксированным шестиугольником P (сам P в Ф[1] не входит). Чтобы из Ф[n] построить Ф[n+1], заметим, что выпуклая оболочка n-й фигуры — двенадцатиугольник, у которого шесть сторон длинные, а шесть имеют длину в одно ребро элементарного шестиугольника. Возьмём две короткие стороны a и b выпуклой оболочки, между которыми находится две длинных и одна короткая, и пусть O — точка пересечения прямых a и b. Лучи, идущие из O к сторонам a и b, образуют угол в 60 градусов, а Ф[n] лежит внутри этого угла. Повернём Ф[n] вокруг O на 0, 60, 120, 180, 240 и 300 градусов, тогда объединение этих шести копий Ф[n] образует Ф[n+1]. Подберите такие преобразования подобия (масштабирование+движение), переводящие фигуры Ф[n] в F[n], такие что F[n+1] лежит в F[n], а диаметр F[n] имеет ненулевой предел. Найдите размерность фрактала, являющего пересечением фигур F[n]. (Здесь показано, как выглядит фигура Ф[2] и угол, используемый в построении Ф[3].)
Материал и задачи по теме (исправленная версия от 20.05). Задачи сдаются А.С. Скрипченко, каждая задача «стоит» 0,5 балла.
Материал и задачи по теме. Задачи сдаются А.В. Клименко.
Материал и задачи по теме. Задачи сдаются А.С. Скрипченко.