Profa Renata de Freitas (renatafreitas@id.uff.br)
Segundas e quartas, 09-11h, sala F-204 Gragoatá
Atendimento na sala H-506 Gragoatá
Terças: 8h-9h15min e 11h-13h
Quintas: 8h-9h15min e 12h30min-14h
Segundas e quartas: 16h-18h30min
Sextas: 9h-12h
Segundas e quartas: 15h-19h
Quartas: 13h-16h
Quintas: 13h-18h
1. Tente resolver os sistemas de equações lineares a seguir, usando as técnicas aprendidas no Ensino Médio, tentando elaborar um algoritmo.
(a) { 2x=6 } (na variável x)
(b) { 2x-y=3 , x+3y=1 } (nas variáveis x e y)
(c) { x+3y+z=1 , 2x+5y-z=3 } (nas variáveis x, y e z)
(d) { x-3y=-1 , 2x+y=5 } (nas variáveis x e y)
(e) { 6x+3y=9 , 2x+y=5 } (nas variáveis x e y)
(f) { 6x+3y=15 , 2x+y=5 } (nas variáveis x e y)
2. Tente explicar por que substituir umas das equações de um sistema de equações lineares pela soma desta equação com uma outra e manter a outra equação (e todas as outras equações) inalterada não altera o conjunto de soluções do sistema.
1. Resolva os sistemas apresentados no item 1 do exercício do dia 12/03/2018, usando o algoritmo de escalonamento do texto Colombo-Koiller, Seção 1.5, páginas 13 a 18 (apresentado em aula).
2. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a ed.), páginas 30 e 31.
3. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a ed.), páginas 37 a 41, itens 1 a 19, 22 a 32.
4. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a ed.), páginas 71 a 73, itens 1 a 5, 8, 10.
5. Resolva os exercícios do Colombo-Koiller, páginas 29 a 31, itens 1.6 a 1.9, 1.11, 1.15 a 1.22.
1. Resolva os exercícios do Colombo-Koiller, páginas 160 e 161, itens 6.3, 6.4 e 6.6.
1. Para pensar: encontrei um caderno velho que foi danificado pela chuva. O enunciado de um exercício pedia para (1) discutir e (2) resolver um sistema de equações lineares. Nem o enunciado nem a resolução estavam completamente legíveis, mas era possível identificar (a) os termos independentes das equações do sistema: 1, 2 e 3, (b) a sequência de operações elementares utilizadas para fazer o escalonamento: L1 <-> L2, L2 -> L2-3L1, L3->L3+2L1, L2->(1/3)L1, L1->L1+7L2, L3->L3-L2, L3->(-1)L3, (c) a resposta do item (1) exercício: sistema possível determinado. Com estes dados é possível determinar a resposta do item (2) do exercício?
2. Conhecendo-se apenas a matriz de coeficientes de um sistema (e não a coluna de termos independentes) é possível classificar o sistema como possível determinado, possível indeterminado ou impossível?
1. Será que, dado um sistema de equações lineares que não tem o mesmo número de equações e de variáveis, sempre posso encontrar um outro que tem o mesmo número de equações e variáveis e que é equivalente ao sistema dado?
2. Encontre um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções é o subespaço vetorial gerado pelos seguintes conjuntos:
(a) { (1,2), (1,0), (3,4) }
(b) { (1,2), (2,4) }
3. Resolva os exercícios do Colombo-Koiller, páginas 77 a 82.
4. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a. ed.), páginas 167 e 168, itens 1, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 16, 19, 23, 24, 25.
5. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a. ed.), páginas 173 e 174, itens 1(a), 1(b), 2, 3, 7 a 12, 14, 15, 17, 23(b), 23(c), 24.
1. Identifique os exercícios que você sabe resolver das provas anteriores da Profa. Paula (V1, V2, 2a chamada, VS) e resolva-os.
1. Considere as matrizes de coeficientes dos sistemas { x+2y+3z=0 , 4x+5y+6z=0 } e { -x+2y+3z=1 , 2x+2y-4z=2 }.
(a) Determine o núcleo da matriz e a dimensão do núcleo.
(b) Determine o espaço coluna da matriz e a dimensão do espaço coluna.
2. Resolva os exercícios propostos do Colombo-Koiller, páginas 110 a 116, itens 4, 5, 9, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 20, 21, 25, 26, 27, 29, 30.
3. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a. ed.), páginas 182 e 183, itens 1(a), 1(b), 2, 7, 8, 11 a 16, 18, 20, 21.
4. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a. ed.), páginas 190 e 191 , itens 3 a 7, 9, 11, 12.
Dada a matriz A = [ v1, v2, v3, v4, v5, v6 ], com v1 = (1,2,0,2), v2 = (3,6,0,6), v3=(-2,-5,5,0), v4=(0,-2,10,8), v5=(2,4,0,4), v6=(0,-3,15,18):
1. Determine Nuc(A), encontre uma base para Nuc(A) e determine a dimensão de Nuc(A).
2. Determine Col(A), encontre uma base para Col(A) e determine a dimensão de Col(A).
3. Discuta os sistemas:
(a) { x+3y-2z+2u=0 , 2x+6y-5z-2w+4u-3v=-1 , 5z+10w+15v=5 , 2x+6y+8w+4u+18v=6 } (observe que a matriz de coeficientes desse sistema é a matriz A dada acima).
(b) AX=[b], onde b=(1,2,3,4).
1. Resolva os exercícios propostos do Colombo-Koiller, páginas 173 e 174, itens 1, 6.
2. Resolva os exercícios propostos do Colombo-Koiller, página 195, itens 1, 2, 3.
1. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a. ed.), página 135, itens 5, 6, 9, 10, 14, 15.
2. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a. ed.), páginas 221 e 222, itens 1 a 4, 7, 16 a 19.
3. Resolva os exercícios do Anton-Rorres (8a. ed.), página 234, itens 1, 2(a), 3.
1. Considere o espaço vetorial R2 = {(a,b) / a,b reais} e as bases A={(1,1),(1,-1)} e B={(1,2),(-1,2)} para R2.
(a) Encontre a matriz de mudança de base de A para B e a matriz de mudança de base de B para A.
(b) Verifique que as matrizes encontradas no item (a) são inversas uma da outra.
2. Considere o espaço vetorial S={(2a,a,a+b,-b) / a,b reais}, as bases F={(2,1,1,0),(0,0,1,-1)} e G={(2,1,2,-1),(2,1,0,1)} para S e o vetor v=(-2,-1,1,-2) pertencente a S.
(a) Encontre as coordenadas de v em relação à base F.
(b) Encontre a matriz de mudança de base de F para G.
(c) Encontre as coordenadas de v em relação à base G.
3. Resolva os exercícios propostos do Colombo-Koiller, páginas 112 e 113, itens 14, 15, 20.
4. Resolva os exercícios propostos do Colombo-Koiller, página 173, item 1.
5. Resolva os exercícios do Anton-Rorres, página 182, itens 7, 8.
6. Resolva os exercícios do Anton-Rorres, páginas 234 e 235, itens 5, 6, 9(a), 10, 11, 12, 13.
Leia o conteúdo trabalhado em aula do Capítulo 7 do livro: W. Boyce, R. DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 10a. edição, LTC, São Paulo, 2015. Resolva os exercícios propostos nas seções 7.5 e 7.7.
1. Resolva os exercícios do Anton-Rorres, páginas 243 e 244, itens 1 a 12.
2. Resolva os exercícios do Anton-Rorres, páginas 249 e 250, itens 1 a 20.
3. Resolva os exercícios do Anton-Rorres, página 253, itens 1 a 4.
H. Anton e C. Rorres, Álgebra Linear com Aplicações, 10a edição, Bookman, Porto Alegre, 2012.
W. Boyce, R. DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 10a. edição, LTC, São Paulo, 2015.
J. Colombo, J. Koiller, Álgebra Linear, GAN/IME-UFF, 2014 (texto em preparação).
S. Lipschutz, M.L. Lipson, Álgebra Linear, quarta edição, Bookman, 2011 (Coleção Schaum).
D. Poole, Álgebra Linear, Pioneira Thomson Learning, 2004.
J. L. Boldrini et al., Álgebra Linear, Harbra, 1978.
C. A. Callioli, H. Domingues, R. C. F. Costa, Álgebra Linear e Aplicações, Atual, 1993.
Folga especial - 16 e 18 de abril (segunda e quarta) - estarei em uma banca de concurso na UFRJ
Feriado de São Jorge - 23 de abril (segunda)
Recesso do Dia do Trabalho - 30 de abril (segunda)
V1 - 09 de maio (quarta) *** mudou ***
V2 - 25 de junho (segunda)
2a chamada - 04 de julho (quarta) *** mudou ***
VS - 09 de julho (segunda)
A vista de prova da VS pode ser feita na quarta-feira, dia 11 de julho.
matrícula - V1 - V2 - 2aCh situação e VS
117004130 - 5,9 - 5,6 - x :-)
117004101 - 4,75 - 3,3 - 5,0 :-o 6,8
115004141 - x - 0,0 - x :-((
216004203 -2,35 - 3,6 - 8,0 :-)
216004236 - 2,7 - x - x :-((
216004266 - x - x - x :-((
117004034 - 5,2 - 7,05 - 7,0 :-)
216004160 - 4,2 - x - x - :-((
117004053 - 3,65 - 6,55 - 7,3 :-)
215004250 - x - x -x :-((
216004275 - x - x - x :-((
216004265 - 2,45 - 3,9 - 2,9 :-(
117004050 - 6,65 - 3,5 - 5,2 :-)
matrícula - V1 - V2 - 2aCh situação
117004023 - 7,15 - 5,5 :-)
117004038 - 5,55 - 6,4 :-)
117004033 - 4,7 - x - x :-((
117004096 - 6,45 - 3,6 - 6,6 :-)
217004188 - 2,8 - 3,7 - 5,3 :-o 2,4
117004124 - 3,15 - 4,2 - 6,9 :-o 6,0
216004167 - 3,4 - 6,5 - 6,85 :-)
115004035 - x - 2,6 - x :-((
117004004 - x - 3,9 - 6,0 :-o 7,6
217004192 - 2,8 - 1,6 - x :-(
216004174 - 3,5 - 3,45 - 7,8 :-o 6,7
416004138 - x - x - x :-((
117004005 - 3,8 - 5,25 - 7,35 :-)
217004191 - 2,7 - 5,7 - 7,9 :-)
Legenda - aprovação :-) VS :-o reprovação :-( reprovação por falta :-((