Види деформації. Закон Гука. Модуль Юнга

Деформація – зміна форми та (або) розмірів тіла. Деформація є пружною, якщо після припинення дії зовнішніх сил тіло відновлює свої форму та розміри; деформація є пластичною, якщо форма та розміри тіла не відновлюються. Розрізняють також деформації стиснення (розтягнення), зсуву, вигину, кручення.

Деформація стрижня прямокутного перерізу при крученні

Деформація зсуву

Напруження при розтягу

Деформація розтягу зразка

Розтяг (стиск) або розтяг-стиск — вид деформування твердого тіла, при якому його розміри вздовж однієї осі збільшуються (зменшуються) під дією сил, рівнодійна яких є перпендикулярною до поперечного перерізу тіла і проходить через центр ваги його.

Процеси, які відбуваються при розтягу або стиску здебільшого є ідентичними, як і механічні характеристики дуже великої кількості конструкційних матеріалів. Тому ці протилежні за напрямом види деформування — розтяг і стиск — описують одними й тими ж математичними залежностями й об'єднують їх в один вид: розтяг–стиск. При цьому домовилися: все, що стосується розтягу (сили, напруження, деформації тощо) вважати зі знаком «+», а те, що стосується стиску — зі знаком «–».

При розгляді розтягу–стиску користуються основними гіпотезами опору матеріалів. Крім того, вводять ще гіпотези, характерні саме для певних видів простої деформації. Наприклад, приймають гіпотезу плоских перерізів — поперечні перерізи стержня, плоскі до деформації, залишаються плоскими і після неї, переміщуючись поступально вздовж осі стержня.

Деформація згину або згин — тип деформації бруса (балки), що полягає у викривленні осі прямого бруса чи зміні кривини осі кривого бруса в результаті виникнення згинальних моментів у його перерізах від прикладених навантажень (поперечних сил і/або згинальних моментів у площині, що проходить через вісь бруса).

Локальна деформація різних частин тіла при згинанні різна. Наприклад, у випадку, зображеному на рисунку, верхня частина балки стискається, а нижня — розтягується.

Згин двотавра

Схематичне зображення деформації згину навантаженої балки

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформаціями та механічними напруженнями.

Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій.



Коливання гармонічного осцилятора, для якого справедливий закон Гука

Коли тіло деформується, його стан змінюється: у будь-якому перерізі тіла виникають сили пружності, що перешкоджають руйнуванню; чим більше деформоване тіло, тим більшими є сили пружності. Стан деформованого тіла характеризується механічною напругою.

Фізичну величину, яка характеризує деформоване тіло і дорівнює відношенню модуля сили пружності Fпруж до площі S поперечного перерізу тіла, називають механічною напругою σ:

Одиниця механічної напруги в СІ – паскаль: [σ] = 1 Па.

Установлено, що механічна напруга залежить від відносного видовження тіла.

Відносне видовження ε тіла – фізична величина, яка дорівнює відношенню видовження Δl до початкової довжини l0 тіла:

У випадку малих пружних деформацій розтягнення і стиснення механічна напруга σ прямо пропорційна відносному видовженню ε:

Коефіцієнт пропорційності Е називають модулем Юнга або модулем пружності. Модуль Юнга характеризує пружні властивості матеріалу.

Одиниця модуля Юнга в СІ – паскаль: [Е] = 1 Па.

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для визначення деформації довгого тонкого стрижня або пружини F=-kx, де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.

Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.

Запис закону Гука через напруження і відносні деформації, дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижня на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла.

Модуль Юнга (модуль пружності першого роду або модуль пружності під час розтягу) — фізична величина, що характеризує пружні властивості ізотропних речовин, один із модулів пружності.

Модуль пружності під час розтягу — відношення нормального напруження до відповідної лінійної деформації за лінійного напруженого стану до границі пропорційності.

Позначається латинською літерою E, вимірюється в Н/м² або Па (паскалях), переважно в гігапаскалях. Названо на честь англійського фізика XIX століття Томаса Юнга. Часто ще цю фізичну величину називають модулем пружності першого роду.

Модуль Юнга для випадку розтягу-стискання стрижня осьовою силою розраховується наступним чином:

де: F — осьова сила; S — площа поверхні (перерізу), по якій розподілена дія сили; l — довжина стрижня, що деформується; Δl — модуль зміни довжини стрижня в результаті пружної деформації.

Наведена формула справедлива при малих пружних деформаціях.

Модуль Юнга встановлює зв'язок між деформацією розтягу й механічним напруженням направленим на розтяг.

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла, ε — величина відносної деформації (відносне видовження).

Типова крива залежності напруження від деформації розтягу

Показаний типовий графік залежності напруження, яке виникає в тілі при деформації від величини відносного видовження.

При малих деформаціях напруження зростає лінійно із видовженням. Цю область кривої називають областю пружних деформацій. Якщо зняти прикладену силу, то тіло повертає свої розміри й форму. При зростанні деформації реакція тіла втрачає лінійність, а ще при більшій деформації починається область пластичності. При такій деформації тіло вже не повертає собі попередні розміри й форму. В цій області проявляється явище повзучості — зміни розмірів тіла з часом при незмінній силі розтягу. В цій області тіло сильно розтягається при незначному збільшенні прикладеної сили. При певній деформації наступає руйнування.

В залежності від величини області пластичної деформації матеріали поділяються на пластичні й крихкі. У крихких матеріалів область пластичної деформації дуже вузька. Крихкість речовин сильно залежить від температури. При низьких температурах тіла схильні руйнуватися при менших навантаженнях. Особливо це стосується полімерних матеріалів, які при високих температурах надзвичайно пластичні, а на морозі легко ламаються.

Іншими характеристиками реакції матеріалів на деформацію є міцність і твердість.

Труби Бурдона засновані на законі Гука. Сила, створювана тиском газу всередині згорнутої металевої трубки, розкручує її на величину, пропорційну тиску.

Приклади розв'язування задач

На рисунку зображено графік залежності механічної напруги о в мідному дроті від відносного видовження дроту

Установіть відповідність між точками A, L, М, N на графіку і характером деформації дроту.

Точки на графіку залежності

1. Точка К.

2. Точка L.

3. Точка М.

4. Точка N.

Характер деформації

A. Деформація непружна, спостерігається текучість.

Б. Деформація пружна, закон Гука не виконується.

B. Деформація непружна, закон Гука виконується.

Г. Деформація пружна, закон Гука виконується.

Д. Деформація непружна, виповідає границі міцності.

Ділянка ОА (у межах якої міститься точка К) — ділянка пропорційності: при малих деформаціях напруга а прямо пропорційна відносному подовженню. Виконується закон Гука.

Деформація пружна. Точка А — межа пропорційності.

Ділянка АВ (у межах якої міститься точка L): закон Гука не виконується, але деформація пружна. Максимальну напругу, за якої ще не виникає помітна залишкова деформація, називають межею пружності — точка В.

Ділянка ВС: пластична деформація.

Ділянка CD (у межах якої міститься точка М): ділянка плинності (текучості) матеріалу. Видовження відбувається практично без збільшення навантаження.

Ділянка DE (у межах якої міститься точка N): тимчасове зміцнення матеріалу. Видовження супроводжується утворенням тонкого перешийка, що призводить до значного зростання механічної напруги.

При досягненні максимального значення механічної напруги (межа міцності — точка Е, яка співпадає з точкою N) матеріал розтягується без збільшення зовнішнього навантаження до самого зруйнування в точці К.

Запас міцності — відношення межі міцності до прикладеної механічної напруги.

Відповідь. 1Г, 2Б, 3А, 4Д.