14.03.2024
Урок №51
Поняття про теорію ймовірності
«Від шахової гри - аристократки марної – теорії достойної не народилось жодної, а гра у кості, хоч і примітивна, науку про ймовірність народила дивну. Воістину в науці, як в житті: найглибша мудрість в простоті»
Г.П.Бевз
Мета уроку:
- домогтися засвоєння учнями змісту понять: випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія; означення ймовірності випадкової події; навчитися визначати за формулою ймовірність простої події, а також розв’язувати задачі, що передбачають обчислення ймовірності за формулою;
- розвивати цікавість до математики, уяву, увагу, логічне мислення, а також культуру математичної мови через математично грамотні висловлювання;
- виховувати відповідальність, працелюбність, взаємодопомогу, культуру математичних записів та інтерес до вивчення предмета.
Завдання:
Опрацювати відео-матеріали, презентації в щоденнику.
Вивчити §22, 23, виконати завдання на порталі Мійклас.
Зародження теорій ймовірностей відбулося у пошуках відповіді на питання: як часто відбувається та чи інша подія в серії випробувань?
Як зародилася наука теорія ймовірностей? Хто з видатних вчених присвятив свої праці саме ймовірності?
Що називають випробуванням? Експериментом? Подією?
Під експериментом (випробуванням) розуміють деяку сукупність умов, в яких спостерігається те або інше явище, фіксується той або інший результат.
Слово “подія” в побуті застосовують до значних явищ (день народження, іспит, весілля), а в математиці – до всіх можливих наслідків ситуації, що розглядається, наприклад при киданні гральної кістки - подія - це випадання тієї або іншої грані.
Подією називається усякий факт, який в результаті експерименту може відбутися або не відбутися.
Наведіть приклади подій.
Події будемо позначати великими літерами латинським А, В, С.
Приклади подій:
• черепаха навчилася говорити;
• вода в чайнику, що стоїть на гарячій плиті закипить;
• ви виграєте, беручи участь у лотереї;
• ви програєте партію в шахи;
• на наступному тижні може зіпсуватися погода;
• ви натиснули на дзвінок, а він не задзвонив;
• після четверга буде п’ятниця;
• влітку у школярів будуть канікули;
• взимку випадає сніг;
• при включенні світла, лампочка перегорить;
Об’єднайте події у групи. За якими ознаками ви це зробили? Узагальніть визначення.
Події, які за даних умов обов’язково відбуваються, називають достовірними (зміна дня і ночі).
Події, які за даних умов не можуть відбутися, називають неможливими.
Події, які за даних умов іноді відбуваються, а іноді не відбуваються, називаються можливими або випадковими.
Події, можливості настання яких однакові називаються рівноможливими або рівноймовірними (підкидання монети).
Ймовірністю події називається чисельна міра ступеня об'єктивної можливості появи події в результаті експерименту.
Чому буде дорівнювати імовірність події:
• черепаха навчилася говорити;
• вода в чайнику, що стоїть на гарячій плиті закипить;
• ви виграєте беручи участь у лотереї;
Властивості ймовірності будь-якої події:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Якщо A – вірогідна подія, то P(A)=1
Якщо A – неможлива подія, то P(A)=0
Якщо A – випадкова подія, то 0≤ P(A) ≤ 1
Ймовірність події А як можливого виходу деякого експерименту визначається відношенням кількості випадків, що сприятливі для події А, до загальної кількості випадків у даному експерименті.
Таким чином, якщо m – кількість випадків, що сприятливі для події А, а n – загальна кількість випадків у даному експерименті, то ймовірність події випадкові події А:
Якщо за незмінних умов проведено n випадкових дослідів і в n(А) випадків подія А відбулася, то число n(А) називають частотою події А, а відношення n(А)/n - відносною частотою події А.
Приклад:
Дослід полягає в підкиданні кубика 150 разів поспіль. Нехай випадкова подія А - випадання шістки. Під час досліду ця подія відбулася 24 рази.
Число 24 є частотою події А, а відношення 24/150=4/25==0,16 є відносною частотою події А.
Приклад 1.
Знайдiть iмовiрнiсть того, що в результатi пiдкидання грального кубика випаде парне число очок.
Розв’язання:
Ймовірність події А обчислюється за формулою: Р(А)=m/n.
Дана подія може відбутися трьома способами: випало 6 очок, випало 4 очка, випало 2 очка.
Отже m=3.
Всього можливо шість подій під час даного експерименту, тому n=6.
Тоді Р(А)=3/6=1/2=0,5=50%.
Відповідь : ½ або 50%
Алгоритм для розв’язання задач за допомогою класичного визначення:
1. позначити подію;
2. підрахувати кількість загальних випадків у даному експерименті;
3. підрахувати кількість випадків, сприятливих для даної події;
4. знайти відношення сприятливих наслідків до числа усіх наслідків.
Приклад 2.
В урнi мiститься 10 однакових за розмiром кульок: 6 жовтих i 4 синiх. Кульки перемiшали.
Знайдiть iмовiрнiсть того, що навмання вибрана кулька буде:
- синього кольору;
- жовтого кольору;
- чорного кольору;
- будь-якого кольору.
Розв’язання:
Подія А може відбутися чотирма способами, подія В-шістьма, подія С-неможлива подія, подія D така, що завжди відбудеться. Одну кульку можна витягнути десятьма способами.
Тому:
Р(А)=4/10=2/5=0,4=40%,
Р(В)=6/10=3/5=0,6=60%,
Р(С)=0,
Р(D)=1=100%.
Приклад 3:
У лотереї 100 квитків, з них 5 виграшних. Яка ймовірність програшу?
Чим дана умова відрізняється від попередніх?
Чи можемо ми одразу обчислити імовірність? Чому?
(А) – програти: Результатів – 100; Шанс (А) = 100-5 = 95, тоді Р (А) =95/100=19/20