Cálculo Diferencial e Integral II

MAT039M2: Cálculo Diferencial e Integral II 

2025 – Segundo Semestre

Horário: Segunda e quarta – 13h00–14h40 

Sala: 2006 - MAT

Início do curso: 13/08/2025

Ementa: Seqüências e Séries Numéricas, Séries de Potências, Fórmula de Taylor, Cônicas e Coordenadas Polares, Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis.

Programa: 

1. Seqüências Numéricas: definição, limites finitos e infinitos. Seqüências monótonas limitadas. Propriedades dos limites. 

2. Séries Numéricas: definição. Convergência e divergência. Condição necessária de convergência. Série geométrica e série harmônica. Critérios de convergência para séries de termos positivos e para séries alternadas. Convergência absoluta e convergência condicional. Propriedades gerais das séries. 

3. Séries de Potências: definição. Convergência simples. Raio e intervalo de convergência. Cálculo do raio da convergência. Séries de Taylor. Convergência absoluta . Continuidade, derivação e integração de séries de potências. Desenvolvimento em série de potências das funções sen(x), cos(x), exp(x), log (1+x), (1+x)s. Unicidade do desenvolvimento em séries de potências. Funções definidas por séries de potências. 

4. Fórmula de Taylor Para Função Real de uma Variável Real: o problema da aproximação de uma função por um polinômio e sua importância. A fórmula de Taylor: dedução, unicidade, avaliação do termo complementar. Desenvolvimento das funções sen(x), cos(x), exp(x), log (1+x), (1+x)s. Outras aplicações. 

5. Seções Cônicas: introdução, seções de um cone, circunferência, parábola, elipse, hipérbole. 

6. Coordenadas Polares: definição. Equação polar de uma curva. Área de figuras planas, comprimento de curvas. 

7. Funções Reais de Várias Variáveis: esboços de domínio e de gráficos, superfícies de nível. Estudo das superfícies de nível. Estudo das superfícies cilíndricas e das superfícies quádricas. Limite e continuidade de uma função de várias variáveis: definições e propriedades. 

8. Derivação das Funções Reais de Várias Variáveis Reais: derivadas parciais: definição, interpretação geométrica. Funções diferenciáveis, diferencial de uma função, aproximação linear. Plano tangente e reta normal a uma superfície. Derivadas de ordens superiores, o Teorema da inversão da ordem de derivação. Derivação de funções compostas e implícitas. Derivada direcional e gradiente. Máximos e mínimos (locais e absolutos). Máximos e mínimos condicionados. 

Links: 

• Seqüências de Fibonacci 1 

• Seqüências  de Fibonacci 2 

Sistema de Avaliação: 

O semestre contará com três provas, conforme o calendário abaixo:  

- Prova 1 (P1): 17/09/25 (Quarta-feira) – 30 pontos 

- Prova 2 (P2): 29/10/25 (Quarta-feira) – 30 pontos

- Prova 3 (P3): 01/12/25 (Segunda-feira) – 30 pontos

- Listas de exercícios (L)– 10 pontos

- Exame especial (EE): 10/12/25 (Quarta-feira)  

Critérios de Avaliação: 

• Aprovação direta:
  Estudantes com N = P1 + P2 + P3 + L ≥ 60 serão aprovados com nota final N.

• Exame especial (EE):
  Caso 40 ≤ N < 60, o aluno poderá realizar o exame especial. A nota final será calculada como:
  Nota Final = máximo {(N + EE)/2, N}

Notas:

1. Aprovados: Nota total (N) ≥ 60.

2. Recuperação: Nota entre 40 e 59 → direito ao exame (EE).

3. Cálculo final:

   • Garante mínimo de 60 se (N + EE)/2 ≥ 60.

   • Preserva a nota original (N) se for maior que (N + EE)/2.

Referência principal: -STEWART, J. - Cálculo - Editora Pioneira - 2010 - Volume 2. 

Referências complementares:

1. LEITHOLD, L. - O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2 - SP - Harbra. 

2. APOSTOL, T. M. - Cálculo. Ed. Reverté Ltda. Volumes 1 e 2.