Enunciados
1) Una persona está encerrada en un torreón. Hay dos puertas, una de ellas le conduce a la libertad, y la otra a la muerte. Delante de cada puerta hay un vigilante, uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. No se sabe en qué puerta está cada vigilante. La persona encerrada no sabe cuál es cada puerta y quién es cada vigilante. Se le da la oportunidad de que haga una única pregunta a uno de los vigilantes para intentar averiguar cuál es la puerta que debe tomar. ¿Cómo debe proceder esta persona?
2) Una persona encerrada en una mazmorra, con el suelo de hormigón y con un agujero de unos 30 cm. de profundidad. El diámetro del agujero es el justo para que cuele una pelotita de ping-pong. Le dan una regla unos 20 cm. Le dicen que no saldrá de la mazmorra hasta que no saque la pelotita del agujero. ¿Qué puede hacer esta persona?
3) En una habitación hay tres interruptores, cada uno de ellos enciende una bombilla. El problema es que las tres bombillas están en otra habitación. ¿Cómo puede proceder una persona para averiguar qué interruptor corresponde a cada bombilla teniendo que ir una sola vez a la habitación donde están las bombillas?
4) Tres parejas van a una fiesta. Una de las parejas van vestidos de rojo, otra de verde, y la última de azul. En un momento de un baile, el chico que va de rojo, le dice a la chica que va de verde que estaba con otra pareja: te das cuenta de que no hay ninguna pareja que lleven el mismo color. ¿De qué color va cada pareja de baile?
5) Pablo, Juan y Pepe son estrellas de rock. Uno toca la guitarra, otro la batería y el otro el piano. El batería hoy no puede tocar con el guitarrista, como habitualmente hacen, puesto que el guitarrista se ha ido de viaje con el pianista. El pianista gana más dinero que el batería. Pepe gana menos que Juan. Pepe nunca ha oído hablar de Juan. ¿Qué instrumento toca cada uno?
6) Un determinado tipo de bacteria duplica su número cada segundo. Se encierra una muestra de estas bacterias en un bote, y observan que tardan 30 s. en morir todas asfixiadas puesto que se habían respirado todo el aire del interior del bote. Uno de los científicos propone encerrar otra muestra igual a la primera en otro bote del doble de capacidad que el primero para disponer de más tiempo para experimentar con las bacterias antes de que se asfixien. ¿De cuánto tiempo disponen más?
7) En un saco hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres sabios cogen un sombrero y se lo ponen sin ver el color del sombrero que se han puesto. Cada sabio ve los sombreros de los otros dos sabios. Se trata de ver quién averigua antes que los demás el color del sombrero que tiene puesto. Pasado un rato de silencio, uno de ellos dice: mi sombrero es negro. Acertando la respuesta. ¿Realiza un razonamiento de lo ocurrido?
8) En un saco hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres sabios cogen un sombrero y se lo ponen sin ver el color del sombrero que se han puesto. Los tres sabios se colocan en fila india, de tal forma, cada sabio puede ver los sombreros de los sabios que tenga delante. Se trata de ver quién averigua antes que los demás el color del sombrero que tiene puesto. Pasado un rato de silencio, el sabio que no ve el sombrero de nadie, dice: mi sombrero es negro. Acertando la respuesta. ¿Realiza un razonamiento de lo ocurrido?
9) Tenemos dos vasos iguales. En uno de ellos se echa vino, y en el otro gaseosa. En los dos vasos hay la misma cantidad. Se llena una cucharada del vaso de vino y se echa en el vaso de gaseosa. Se remueve muy bien, y luego se coge una cucharada de esta mezcla y se echa en el vino. ¿Hay más vino en el vaso de gaseosa, o más gaseosa en el vaso de vino?
10) En una isla donde vive una tribu, es tabú hablar del color de los ojos, no hay espejos ni nada donde se vean reflejados. Hay una norma religiosa, y es que si alguien sabe que tiene sus ojos azules, debe tirarse por el acantilado al amanecer siguiente, de esta forma consiguen ir directamente al jardín de los cielos. En la isla, todos tienen los ojos azules, pero nadie sabe que él los tiene. Un día, cuando estaban todos reunidos, se les apareció un genio, que les dijo que al menos hay uno que tiene los ojos azules. Razonar qué es lo que ocurre a partir de ese momento.
11) Una princesa tenía un novio plebeyo, cuando el rey se enteró, lo encerró en una mazmorra con la intención de matarlo. Para no parecer que el rey que lo que quería era matarlo, dijo que le iba a dar una oportunidad. Escribiría en un papelito “vida”, y en otro “muerte”. Los dos papelitos estarían dentro de un saquito, y en un acto público, el reo metería la mano y cogería uno. Si el novio fuese un buen marido para su hija, Dios guiaría su mano y cogería el papel donde pone “vida”, en caso contrario, moriría. La trampa está en que el rey iba a escribir en los dos papelitos “muerte”. La princesa que se había enterado de la trama de su padre, advierte a su novio de lo que pretende hacer el rey para matarlo. ¿Qué puede hacer el detenido para salvarse?
12) En un cajón hay calcetines sueltos, todos iguales, salvo que unos son negros, otros azules y otros verdes. Puesto que la habitación está oscura y no puede encender la luz para no despertar a nadie, coge los calcetines a oscuras. ¿Cuántos calcetines debe coger para garantizarse que tendrá dos del mismo color?
13) Un piloto se dispone a despegar con su reactor. En ese momento llega un amigo y le dice que tiene una urgencia y que necesita que le lleve. El piloto accede y lo sube al avión. El amigo le dice que siente mucho que se tenga que desviar de su trayectoria y por tanto producirle un retraso. El piloto le dice que no se preocupe, que es indiferente a dónde le tenga que llevar, que esta circunstancia no le producirá ningún retraso. ¿Hacia dónde se dirige el piloto?
14) Tres niños quieren jugar a la pelota, pero no disponen de ninguna. Cada niño, le da 10 € a una niña para que vaya a comprar una pelota. Cuando llega la niña con la pelota comprada, dice que le ha costado 25 €. Le da 1 € a cada niño, y los 2 € que sobran se los queda ella por haber ido a hacer la compra. A los niños les parece bien. Pero de pronto, uno de ellos dice que no le cuadra las cuentas. Dice: vamos a ver, cada uno de nosotros hemos puesto 9 €, puesto que pusimos 10 y nos han devuelto 1. Luego entre los tres, hemos puesto 27 €, más 2 € que le hemos dado a la niña por ir a comprar, son 29 €. ¿Dónde está el euro que falta?
15) Una persona anda 5 Km. al sur, luego 5 Km. al este, y por último 5 Km. al norte. Resulta que ha llegado al punto de partida. ¿En qué lugar se encuentra esta persona?
16) Un excursionista sale de su casa a las 9:00 horas hacia lo alto de una montaña donde acampa y pasa el día. Al día siguiente, a las 9:00 horas sale desde lo alto de la montaña hacia su casa por el mismo camino. El excursionista se pregunta si existirá algún punto en el camino en el que pase a la misma hora que cuando subió la montaña. ¿Existe, o no?
17) Tenemos 12 bolas indistinguibles entre sí. Todas pesan igual salvo una que pesa ligeramente distinto a las demás. Con una balanza de brazos, se puede determinar en tres pesadas, qué bola es la que pesa distinto y si es mayor su peso o menor.
18) En un calabozo hay 10 prisioneros. El cruel carcelero, decide matar a los presos que no superen una prueba. Les avisa que al día siguiente los va a poner a todos en fila, de tal manera que el primero no ve a nadie, el segundo sólo ve al primero, y así sucesivamente, hasta llegar al décimo que ve a todos. Les va a poner aleatoriamente a cada uno un sombrero negro o blanco, sin que cada preso sepa de qué color es el suyo. Empezará a preguntar desde el décimo al primero, de qué color tiene su sombrero. El que acierte se salva, el que falle o diga otra cosa que no sea blanco o negro, morirá. Los presos se reúnen, y encuentran un método que garantizará que al menos nueve de ellos se salve. ¿Cómo deberán proceder?
Soluciones
1) La pregunta es: ¿qué me contestaría tu compañero si yo le preguntara cuál es la puerta que conduce a la libertad? Deberemos tomar la puerta contraria a la que nos indique. El motivo es que al formular la pregunta de esta forma, estamos garantizando que la respuesta es una mentira. Ya que al intervenir en la respuesta los dos vigilantes, puesto que uno me dice lo que el otro me diría, se obtiene la verdad de una mentira, o la mentira de una verdad, y en los dos casos es una mentira.
2) Quizás alguien quiera matarme después de dar la respuesta. Pero la solución es hacer pis en el agujero. La pelotita saldrá flotando.
3) Se acciona uno de los interruptores, y se deja un rato que mantenga su bombilla encendida. Después se apaga y se le da a otro interruptor. Ya podemos ir a la habitación donde están las bombillas. La bombilla que esté encendida es la que corresponde al interruptor accionado, la bombilla apagada que esté caliente, es la que corresponde al interruptor que se accionó al principio, y la bombilla apagada y fría es la que corresponde al interruptor que no se tocó.
4) Si el chico de rojo no está bailando con la chica de verde, y ninguna pareja es de un único color, entonces tiene que estar bailando con la chica de azul. La chica de verde sólo puede estar bailando con el chico de azul, y solamente nos queda que el chico de verde está bailando con la chica de rojo.
5) Si Pepe nunca ha oído hablar de Juan, significa que no se conocen, luego no pueden tocar juntos habitualmente ni han podido ir de viaje juntos. Por tanto, la pareja Pepe-Juan, no puede ser Batería-Guitarrista ni Guitarrista-Pianista, (no se implica ningún orden en las parejas). Por tanto, la pareja Pepe-Juan, corresponde a la pareja Batería-Pianista. Puesto que Juan gana más que Pepe, y el Pianista más que el Batería, quiere decir que Juan es el Pianista, y por lo tanto Pepe es el Batería, quedando por exclusión que Pablo es el Guitarrista.
6) El aire que respiran las bacterias, es proporcional al número de bacterias. Si cada segundo se duplica el número de bacterias, significa que cada segundo se duplica también el volumen de aire respirado. Si en 30 s. se respiran el aire contenido en el primer bote, en el instante 31 s. se respirarán un volumen doble al primer bote, que es la capacidad que tiene el segundo bote. Por tanto, solamente disponen de un segundo más.
7) Hay que partir de que se tratan de tres sabios. Esto quiere decir que sus razonamientos son perfectos. Vamos a ver distintas posibilidades que se podrían dar:
- Si cogen los dos sombreros blancos y uno negro, el sabio que tiene el sombrero negro, vería que sus dos compañeros tienen sombrero blanco, luego sabría inmediatamente que él tiene un sombrero negro.
- Si cogen dos sombreros negros y uno blanco, uno cualquiera de los sabios que tienen el sombrero negro (lo llamamos A), está viendo que sus compañeros tienen un sombrero blanco y otro negro, puesto que el compañero que tiene el sombrero negro (llamémosle B), no dice nada y no adivina el color de su sombrero, quiere decir que él (el A) no puede tener un sombreo blanco, puesto que entonces su compañero de sombrero negro (el B) tendría muy claro que lleva un sombrero negro. Por tanto, pasado un ratito de silencio, sabe el sabio A, que tiene un sombrero negro. Está claro que este mismo razonamiento lo puede realizar el sabio B.
- La última posibilidad es que se pongan los tres sombreros negros. Cada sabio ve que sus compañeros tienen sombreros negros. Uno cualquiera de los sabios pensará que si él llevara un sombrero blanco, alguno de sus compañeros realizarían el razonamiento al caso anterior. Luego si pasado un ratito ningún compañero dice nada, deduce que él no puede tener el sombrero blanco, y por lo tanto acierta que su sombrero es negro.
La moraleja de esto, es que siempre acertará un sabio con sombrero negro. Por otro lado, la impresión que tengo es que la primera situación expuesta no debió ocurrir, puesto que según el enunciado, hubo un rato de silencio. Y si se hubiera dado este caso, no hubiera sido necesario esperar un rato.
8) Vamos a ver cuáles son las distintas posibilidades suponiendo que el sabio que está primero tiene un sombrero blanco.
- Puede ocurrir que el segundo tenga blanco, en cuyo caso el tercero tendrá negro y podrá saberlo con facilidad puesto que está viendo los dos sombreros blancos que hay.
- Puede ocurrir que el segundo tenga el sombrero negro, y el tercero lo que sea. El tercero no puede saber nunca de qué color es su sombrero, puesto que está viendo uno blanco y otro negro. Sin embargo, el segundo puede deducir que puesto que el tercero no dice nada y sabiendo que el primero lo tiene blanco, debe tener él el sombrero negro.
Por consiguiente, si el primero tiene el sombrero blanco, debe acertar el tercer sabio o el segundo. Como en el enunciado se dice que hay un rato de silencio, el primero deduce que los sabios segundo y tercero no pueden averiguar de qué colores son sus sombreros puesto que él lo tiene negro.
9) Para entender este problema más fácilmente, vamos a imaginarnos que tenemos dos vasos con bolitas pequeñas. Un vaso tiene bolitas rojas y el otro bolitas blancas. En los dos vasos hay la misma cantidad de bolitas. Imaginemos que en la cucharada caben 100 bolitas. Lo primero que hacemos es quitar 100 bolitas rojas de su vaso y echarlas en el vaso de bolitas blancas. Al remover muy bien, las bolitas rojas quedan uniformemente repartidas entre las blancas. Ahora cogemos una cucharada de la mezcla. Sabemos que caben 100 bolitas, imaginemos que por ejemplo hay 96 bolitas blancas y 4 rojas, que se echan en el vaso de bolitas rojas. Por tanto, hemos echado 96 bolitas blancas en el vaso de las rojas, y hemos echado 100 bolitas rojas en el vaso de las blancas menos 4 bolitas rojas que hemos devuelto a su vaso. Llevado este razonamiento a nuestro problema, deducimos que hay igual cantidad de vino en la gaseosa que gaseosa en el vino.
10) Imaginemos que toda la población tiene 2 habitantes. Los dos tienen los ojos azules. Cada uno no sabe si tiene los ojos azules, pero lo que sí sabe es que el otro sí los tiene. Así que cada uno esperará que al amanecer siguiente, su compañero se tire por el acantilado. Puesto que esto no va a ocurrir, deducirán cada uno de ellos que también tienen sus ojos azules. Por lo tanto, al siguiente amanecer, que será el segundo desde la aparición del genio, los dos habitantes se tirarán por el acantilado.
Imaginemos ahora que la población tiene 3 habitantes. Al primer amanecer ninguno se tirará por el acantilado, puesto que cada uno no puede asegurar que él tenga los ojos azules. Puesto que ninguno se tirará, cada uno de ellos pensará que si no tiene él los ojos azules, sus dos compañeros se habrán enterado ya que ellos dos tienen los ojos azules, y por lo tanto al amanecer siguiente, que es el segundo, se tirarán por el acantilado. Puesto que esto no ocurre al amanecer siguiente, ya pueden deducir cada uno, que ellos también tienen los ojos azules, y por consiguiente, al siguiente amanecer, el tercero desde la aparición del genio, se tirarán por el acantilado.
Este razonamiento se puede ir extrapolando, y llegar a la conclusión de que si la población es de N habitantes, al N-ésimo amanecer se tirarán todos por el acantilado.
11) Lo que debe hacer, es que en cuando coja el papelito procurar hacer como que lo lee sin que nadie vea lo que hay escrito, y que empiece a dar saltos de alegría y que se meta el papel en la boca y se lo coma. Cuando le digan que no ha enseñado lo que había escrito en el papelito, él puede decir que miren en el saquito el papelito que queda. Puesto que en este papelito pone muerte, supondrán que en el que se ha comido ponía vida. El rey no puede decir nada puesto que entonces todo el mundo se enteraría que el rey es un tramposo injusto.
12) Habrá que situarse en la peor de todas las posibilidades. Que saque los tres primeros calcetines de cada color. El cuarto calcetín que se saque ya será de algún color de los tres anteriores. Por tanto, deberá sacar cuatro calcetines.
13) El piloto se dirige a las antípodas. Tiene que recorrer media circunferencia de la Tierra, y le da igual por dónde realice la media circunferencia. Puede ir por una media circunferencia que contenga el punto al que quiere ir su amigo.
14) El niño se ha liado al plantear las cuentas. No se puede sumar el dinero que han puesto con parte del gasto y pretender que de 30 €. ¿Por qué debe dar 30? Las cuentas hay que plantearlas más fácilmente, el dinero que han puesto, 27 €, debe ser igual a lo que han gastado, que es 25 € de la pelota más 2 € de propina para la niña.
15) La respuesta conocida es que esta persona se encuentra exactamente en polo norte. Anda 5 Km al sur, bajando por un meridiano, recorre 5 Km hacia el este a lo largo de un paralelo, y luego 5 Km al norte, subiendo por otro meridiano hasta el mismo polo norte.
Otra respuesta menos conocida, es que se encuentra muy próximo al polo sur. De tal manera que anda 5 Km hacia el polo sur a lo largo de un meridiano, quedando muy cerquita del punto exacto del polo sur, de tal forma que cuando ande 5 Km hacia el este recorra completamente el paralelo de longitud 5 Km, llegando al mismo punto. Por último, anda 5 Km hacia el norte por el mismo meridiano que bajó, llegando al mismo sitio.
También se puede pensar, que el punto de partida esté un poco más cerca del polo sur, de tal forma, que cuando ande 5 Km hacia el este le de dos vueltas al paralelo de 2.5 Km. Y así, se deducen más puntos, en los que se de tres vueltas a lo largo del paralelo, cuatro, cinco, etc.
16) Pues claro que existe. Una forma de entenderlo es imaginarse los dos días superpuestos, como si se hubieran grabado en vídeo y luego se montan en una misma película. Veríamos que a las 9:00 horas saldría el excursionista de su casa hacia la montaña, y el excursionista que sale de la montaña hacia su casa. Y veríamos que en algún punto del camino se cruzan. En este punto es la misma hora para los dos excursionistas.
17) El método para averiguarlo es el siguiente. Se hacen tres grupos de 4 bolas cada uno. Se ponen 4 bolas en un platillo y otras 4 en el otro.
1- Vamos a ponernos en el caso de que la balanza no se inclina hacia ningún lado. Entonces sabemos que la bola distinta está en el grupo de 4 bolas no utilizado, que llamaremos C, y nos quedan dos pesadas para averiguar cuál es. Del grupo C, apartamos una bola, c4, y en un platillo de la balanza ponemos 2 bolas del grupo C, c1 y c2, y en el otro platillo la otra bola del grupo C , c3 y otra de las que sabemos que son normales.
1.1- Supongamos que la balanza no se inclina. Entonces sabemos que la bola distinta es la que habíamos apartado del grupo C, c4. Nos queda otra pesada de esta bola, c4, con otra cualquiera para averiguar si pesa más o pesa menos que las demás.
1.2- Supongamos que la balanza se inclina hacia donde están las 2 bolas del grupo C, c1 y c2. Entonces sabemos que es una de estas 2 bolas, y pesa más, o es la otra bola del grupo C del otro platillo, c3, y pesa menos. En la tercera pesada, ponemos en un platillo c1 y en el otro c2.
1.2.1- Si la balanza no se inclina, sabemos que es la bola del grupo C que no hemos usado en esta pesada, c3, y además que pesa menos.
1.2.2- Si la balanza se inclina hacia algún lado, sabemos que la bola distinta es la que está en el lado hacia donde se ha inclinado, y que además pesa más.
1.3- Si la balanza se inclina hacia donde está la bola del grupo C , c3, junto con la bola normal, sabremos que es la bola c3 y pesa más, o alguna de las dos que están juntas en el otro platillo, c1 o c2, y pesan menos. Bastaría proceder igual que en el apartado anterior, para averiguar de qué bola se trata. Es decir, se pone en un platillo c1 y en otro c2. Si pesan igual, sabemos que es la bola que no hemos puesto, c3, y pesa más. Y si se inclina la balanza, sabremos que la bola es la que pese menos.
2.- Supongamos que inicialmente la balanza se inclina hacia algún lado. Llamaremos grupo A a las 4 bolas que han pesado más, y grupo B al grupo de 4 bolas que han pesado menos. Entonces sabemos que las bolas del grupo C son normales, y que la bola distinta es del grupo A y pesa más, o es del grupo B y pesa menos. Quitamos 2 bolas del grupo A, a3 y a4, y una bola del grupo B, b4. Ponemos en un platillo de la balanza a1, b3 y una normal, y en el otro platillo ponemos a2, b1 y b2.
2.1- Si la balanza se inclina hacia a1, b3 y normal, quiere decir que la bola es a1 y pesa más, o b1 o b2, y pesa menos. Realizaremos otra pesada con b1 en un platillo y b2 en el otro.
2.1.1- Si pesan igual, la bola buscada es a1 y pesa más.
2.1.2- Si la balanza se inclina, la bola buscada es la que pese menos.
2.2- Si la balanza se inclina hacia a2, b1 y b2, sabemos que la bola buscada es b3 y pesa menos o a2 y pesa más.. Ponemos en un platillo por ejemplo a2 y en el otro una bola de las normales.
2.2.1- Si la balanza no se mueve, sabemos que la bola distinta es la b3 y pesa menos.
2.2.2- Si la balanza se inclina, será hacia a2, y ya sabemos que es ésta la bola buscada y pesa más.
2.3- Si la balanza no se inclina, sabemos que es a3 o a4 y pesa más, o b4 y pesa menos. Ponemos en un platillo a3 y 3n otro a4.
2.3.1- Si la balanza no se mueve, sabemos que la bola buscada es la b4 y pesa menos.
2.3.2- Si la balanza se inclina, la bola buscada es la que pese más.
18) Deberán ponerse de acuerdo, y asociar por ejemplo blanco con par y negro con impar. Y se decidirán por contar los sombreros de un color, por ejemplo los negros. El preso número diez, es el único que corre riesgo de equivocarse, los demás se salvarán. Este preso debe contar cuántos sombreros negros ve. Si ve un número par, dirá blanco, y si ve un número impar dirá negro. Tiene un 50% de acertar este preso. El preso número nueve, debe contar los sombreros negros que él ve. Si el preso número diez dijo blanco (par), él sabrá que tiene un sombrero blanco si también ve un número par de sombreros negros. Entonces dirá blanco y acertará e indicará al preso número ocho que hay un número par de sombreros. Si el preso nueve, ve un número impar de sombreros negros, sabe que él tiene un sombrero negro. Luego dirá negro, e indicará al preso número ocho que quedan un número impar de sombreros negros. Este proceder se va manteniendo hasta llegar al primer preso.