Алгебра 1
Весенний семестр
Лектор: Е. Америк
Семинаристы: Е. Америк, Н. Маркарян, А. Павлов, А. Попкович, Б. Фейгин, Е. Фейгин
формула оценки: 0.2 дз, 0.5 кр, 0.3 экзамен, без коллоквиума
Ассистенты: Ю. Кузнецов yurets2013msk@gmail.com (211 гр), В. Мамонов m.inkog3@yandex.ru (212), И. Толстухин iatolstukhin@edu.hse.ru; телеграм @StephenAplombsky (213), С. Гуминов sergey.guminov@gmail.com (214), К. Посадский kmposadskiy@edu.hse.ru (215 дист), Н. Бут kobutlya1899@gmail.com (216)
Программа лекций
Лекция 1. Повторение о группах. Простые группы. Простая коммутативная группа - циклическая простого порядка.
Лекция 2. Простота А5 и PSL_2. Разрешимые группы. Композиционный ряд конечной группы. Случай разрешимых групп.
Лекция 3. Силовские подгруппы, примеры, первая теорема Силова
Лекция 4. Вторая и третья теоремы Силова
Лекция 5. Применения в классификации конечных групп. Полупрямое произведение (начало)
Лекция 6. Полупрямое произведение (окончание)
Лекция 7. Классификация конечнопорожденных абелевых групп: случай конечных групп
Лекция 8. Модули над кольцами: основные понятия. Свободный модуль и его ранг.
Лекция 9. Подгруппа свободной абелевой группы свободна. Теорема о базисах (формулировка), вывод из нее классификации конечнопорожденных абелевых групп.
Лекция 10. Диагонализация целочисленных матриц и теорема о базисах (доказательство).
Лекция 11. Инварианты конечнопорожденных абелевых групп: инвариантные множители, примарное разложение. НОД в кольце главных идеалов.
Лекция 12. Делимость в КГИ. Конечнопорожденные модули над КГИ: подмодуль свободного свободен. Диагонализация матриц над КГИ квазиэлементарными преобразованиями, теорема о базисах для модулей над КГИ.
Лекция 13. Классификация конечно порожденных модулей над КГИ. Пространство с линейным оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной. Жорданов и фробениусов вид.
Лекция 14. Примеры.
Лекция 15. Кольца и идеалы. Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
Лекция 16. Внимание, трансляция не работала! Простые и максимальные идеалы. Существование максимальных идеалов. Другое доказательство (с помощью максимальных идеалов) корректной определенности ранга свободного модуля. В факториальном кольце неприводимый элемент порождает простой идеал.
Лекция 17 (16 на youtube) В КГИ простой идеал максимален. Поле частных. р-адический порядок и НОД в факториальном кольце. Содержание многочлена, лемма Гаусса.
Лекция 18 (17 на youtube). Следствия леммы Гаусса. Целозамкнутость факториального кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Признак Эйзенштейна.
Листок для досрочной сдачи экзамена 2: сдать до 18 мая https://drive.google.com/file/d/11H4aUohOXZedK66BiVKP-n6oHf6-MFqx/view?usp=sharing
Лекция 19 (18). Признак Эйзенштейна - окончание. Симметрические многочлены. Лексикографический порядок, старший член. Выражение симметрического многочлена через элементарные.
Лекция 20 (19). Примеры. Дискриминант. Вычисление дискриминанта кубического многочлена.
Лекция 21 (20). Резольвента многочлена четвертой степени. Примеры универсальных свойств. Тензорное произведение: определение через универсальное свойство, построение.
Лекция 22 (21). Тензорное произведение, продолжение. Замена коэффициентов. Комплексификация.
Листок для досрочной сдачи экзамена 2 1/2: сдать до 7 июня https://drive.google.com/file/d/11-Du35dqkimrm3YF4hXlaq7ibJcx6TCb/view?usp=sharing
Лекция 23. Замена коэффициентов, окончание. Тензорное произведение алгебр.
Лекция 24. Эрмитовы формы, эрмитовы пространства, существование ортонормированных базисов.
Лекция 25. Эрмитовы и унитарные операторы. Спектральная теорема. Нормальные операторы, спектральная теорема для нормального оператора.
Задачи семинаров и ДЗ
ДЗ 1 (сдать до 9 февраля) https://drive.google.com/file/d/1yL9vCvlLllWnklM6tNY1cZ6B1rJYH4d0/view?usp=sharing
Семинар 4 https://drive.google.com/file/d/1jkedCjuSg2kH9LOfe_OGTnBWfAPnIxe3/view?usp=sharing
Семинар 5-6 https://drive.google.com/file/d/1Ys9ZAIXj93PSE8k_B7MYJsm9JPUwNREG/view?usp=sharing
ДЗ 2 (сдать до 24 февраля) https://drive.google.com/file/d/1jYQa51LyjiGAtUuKJv1Lynjdpxbh8bXq/view?usp=sharing
ДЗ 3 (сдать до 20 марта) https://drive.google.com/file/d/1Z6e2-4JqExpoFroiwbk1QmpuUoQguoIr/view?usp=sharing
Семинар 7 https://drive.google.com/file/d/1UYHKLgmqyRGvKfGnAzaCgCOTndLnffLY/view?usp=sharing
Семинар 8-9 https://drive.google.com/file/d/1sfi4oV9p33Jgm_pOwZJEdQZlE4dYKjqs/view?usp=sharing
Семинар 10 https://drive.google.com/file/d/1W9erbfJp6fqKhEjFhJEBXE5BmmfqMcYd/view?usp=sharing
Семинар 11-12 https://drive.google.com/file/d/1aG7lKLQUHED8hEywbhIBjF77Lxv2geq1/view?usp=sharing
Семинар 13 https://drive.google.com/file/d/16YLY6K3JcueFBhMaE065f9Y1JrdszcSR/view?usp=sharing
Семинар 14-15 https://drive.google.com/file/d/150CBzY8HCAxSQlwjhr17FoATHoboTbTN/view?usp=sharing
ДЗ 4, сдать до 6 апреля https://drive.google.com/file/d/1SBwJnQ5cTj01MsQPO6u6FiEoRtDMqc7A/view?usp=sharing
Семинар 16 https://drive.google.com/file/d/1ghQgifinQrPFbioU08WegLE3RCJdVXGr/view?usp=sharing
Семинар 17 https://drive.google.com/file/d/1Q0bA-hsg04X30Ndrv8rOoJr1gbQgAXZC/view?usp=sharing
Семинар 18-19 https://drive.google.com/file/d/1JedHlOoyyim94p3FgSbT-4d4bWHUfl7g/view?usp=sharing
ДЗ 5, сдать до11 мая https://drive.google.com/file/d/1W-I_T6rMFc3mDRcUnxSDby4sVpqzuC_e/view?usp=sharing
Семинар 20 https://drive.google.com/file/d/17OHisSY7StMGlebycAq13dcabDWqif1r/view?usp=sharing
Семинар 21-22 https://drive.google.com/file/d/1KJjv56mhGVqssoTBfRYgYJXFigt7f_j9/view?usp=sharing
Семинар 23 https://drive.google.com/file/d/1K7GEKV9Xsao4WABmZhuhvABlEqkYSfKq/view?usp=sharing
Семинар 24 https://drive.google.com/file/d/13PG-pFOGokmGFgedPu98KdJp56gxwv1V/view?usp=sharing
ДЗ 6, сдать до 3 июня https://drive.google.com/file/d/1IAxd7pjpLRuRiytBSv1N73vsjFUZOgYI/view?usp=sharing
Семинар 25 https://drive.google.com/file/d/1G-TYl2vy-o4fdOX8kpD3DIDhGzjLiWG6/view?usp=sharing
Семинар 26-27 https://drive.google.com/file/d/1yq2Lvvx0jqqncGHAgwIxihYoEbKGMdQm/view?usp=sharing
Семинар 28-29 https://drive.google.com/file/d/1BkbLQMo_0Fd7PBymoSFJAn7hpYuywR8Q/view?usp=sharing
Экзамен - двухчасовая письменная контрольная по всей программе! Как всегда, можно пользоваться любыми рукописными материалами, но нельзя другими (печатными, электронными, ...)
Осенний семестр
Лектор: Евгений Борисович Фейгин
Семинаристы: Игорь Вадимович Артамкин, Андрей Михайлович Левин, Никита Суренович Маркарян, Йен Маршалл, Александр Борисович Павлов, Леонид Григорьевич Рыбников, Евгений Борисович Фейгин.
Формула оценки: 0.2 (домашние задания) + 0.2 (контрольные работы) + 0.2.(коллоквиум) + 0.4 (экзамен).
Объявления
Лекция по алгебре в четверг 16 декабря состоится по расписанию в 14.50.
Список автоматов за экзамен (оценка 10).
Максимальная оценка по домашним заданиям будет выставлена за 154 балла. Максимальная оценка за контрольные работы будет выставлена за 36 баллов.
Лекции (видео https://www.youtube.com/playlist?list=PLq3E5oubNNoDdbBzTFI59xxGR452EkIwS )
Лекция 1. 02.09. Общая информация. Целые и натуральные числа, сложение, умножение, деление с остатком. Наибольший общий делитель. Существование наибольшего общего делителя, алгоритм Евклида. Линейное представление. Простые числа. Лемма о простом делителе произведения целых чисел.
Лекция 2. 09.09. Основная теорема арифметики. Определение кольца, коммутативные и ассоциативные кольца, кольца с единицей, делители нуля в кольцах . Примеры колец. Пример некоммутативного кольца и кольца без единицы. Кольца вычетов, кольца многочленов.
Лекция 3. 14.09. Определение целостного кольца. Определение поля. Комплексные числа. Алгебраическая запись, вещественная и мнимая часть, определение умножения. Комплексные числа являются полем. Тригонометрическая запись, модуль и аргумент, умножение в тригонометрической форме и возведение в степень., формула Муавра. Комплексные корни из единицы, первообразные корни.
Лекция 4. 16.09. Абелевы группы , целостные кольца, поля. Группа комплексных корней из единицы по умножению и группа вычетов по сложению. Евклидовы кольца, определение нормы, примеры. Наибольший общий делитель в евклидовом кольце. Разбиение множества на классы эквивалентности.
Лекция 5, 23.09. Классы эквивалентности, согласованные операции, примеры. Кольцо вычетов по модулю натурального числа, критерий обратимости ненулевых элементов. Понятие изоморфизма колец, понятие подкольца. Кольца вычетов по модулю фиксированного многочлена. Простые элементы в произвольном кольце и неприводимые многочлены (определения). Основная теорема арифметики для многочленов.
Лекция 6, 28.09. Факториальные кольца, основная теорема арифметики для евклидовых колец. Многочлены с коэффициентами в поле и функции. Кольца вычетов для колец многочленов, реализация комплексных чисел. Критерий неприводимости многочленов степени не выше трёх. Явное описание элементов колец вычетов по заданному многочлену.
Лекция 7, 01.10. Теорема об обратимости ненулевых элементов в кольце вычетов по неприводимому многочлену. Построение конечных полей, количество элементов в которых равно степени простого числа. Китайская теорема об остатках для целых чисел: классическая формулировка и формулировка в терминах изоморфизма колец, доказательство.
Лекция 8, 07.10. Китайская теорема об остатках для многочленов и для произвольных евклидовых колец. Гомоморфизмы колец, ядра и образы гомоморфизмов. Определение группы, примеры. Абелевы группы, примеры. Симметрическая группа (группа перестановок). Циклическая группа, аддитивная и мультипликативная реализации. Гомоморфизмы групп, ядра и образы.
Лекция 9, 12.10. Группа обратимых элементов кольца. Порядок элемента группы. Теорема о цикличности конечной подгруппы мультипликативной группы поля. Следствие для конечных полей. Группы преобразований: определение.
Лекция 10, 14.10. Примеры групп преобразований: перестановки, группа обратимых линейных преобразований, ортогональные преобразования двумерного пространства, специальные ортогональные преобразования. Идеалы: определение, базовые примеры, классы эквивалентности, факторкольца.
Лекция 11, 26.10. Главные идеалы, идеалы в кольце целых чисел, идеалы в евклидовых кольцах, кольца главных идеалов. Пример неглавного идеала. Группа перестановок, циклы, непересекающиеся циклы. Теорема о разложении перестановки в произведение непересекающихся циклов. Беспорядки и чётность перестановки.
Лекция 12, 28.10. Разложение перестановку в произведение транспозиций, переставляющих соседние элементы. Чётность произведения двух перестановок. Знакопеременная группа . Правые и левые смежные классы группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
Лекция 13, 09.11. Нормальные подгруппы: совпадение левых и правых смежных классов. Сопряжение как гомоморфизм из группы в себя. Определение нормальности подгруппы через сопряжение. Примеры нормальных и не нормальных подгрупп. Нормальность ядра гомоморфизма. Умножение смежных классов, структура группы (факторгруппа) на множестве смежных классов по нормальной подгруппе.
Лекция 14, 11.11. Разложение гомоморфизма в композицию проекции на факторгруппу и вложения. Коммутатор элементов группы и коммутант. Нормальность коммутанта, свойства фактора по коммутанту. Коммутант и гомоморфизмы в абелеву группу. Группы преобразований. Орбиты и стабилизаторы.
Лекция 15. 18.11. Отображение вычисления из группу преобразований в множество. Отождествление слоёв над элементами одной орбиты отображения вычисления. Порядок группы равен порядку орбиты умножить на порядок стабилизатора. Левое и правое регулярное действие группы на себе. Отождествление стабилизаторов точек из одной орбиты. Присоединённое действие. Центр группы и ядро присоединённого действия. Определение действия группы на множестве. Точные действия.
Лекция 16, 23.11. Точные, свободные и транзитивные действия. Группа автоморфизмов группы и её нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов. Группа автоморфизмов циклической группы. Присоединённое действие группы перестановок и цикловой тип.
Лекция 17, 25.11. Орбиты и стабилизаторы для произвольного действия . Формула для порядка конечной группы через порядок орбиты и стабилизатора. Орбиты присоединённого действия группы перестановок. Индуцированное действие на множестве отображений из множества с действием группы в произвольное множество.
Лекция 18, 07.12. Действие группы перестановок на множестве слов фиксированной длины из данного алфавита. Теорема Полиа-Бернсайда для числа орбит. Применение к вычислению количества ожерелий из фиксированного числа бусин фиксированного количества цветов.
Лекция 19, 09.12. Свободная группа с двумя образующими, определение. Сюръективный гомоморфизм на группу диэдра, ядро гомоморфизма. Явное описание образующих ядра как нормальной подгруппы в свободной группе. Определение свободной группе от произвольного конечного числа образующих, универсальное свойство. Задание группы образующими и соотношениями.
Лекция 20, 16.12. Краткий обзор пройденного материала за семестр.
Семинары + ДЗ
Семинар1 + дз1 seminar1+hw1
Семинары2-3+дз2 seminar2-3+hw2
Семинар4+дз3 seminar4+hw3
Семинары5-6+дз4 seminar5-6+hw4
Семинар 7 seminar7
Семинар 8 seminar8
Семинары9-10+дз5 seminar9-10+hw5
ДЗ6 hw6
Семинары11-12+дз7 seminar11-12+hw7
Семинар13+дз8 seminar13+hw8
Семинары14-15+дз9 seminar14-15+hw9
Семинар 16+дз10 seminar16+hw10
Семинары 17-18 seminar17-18
Семинар 19 seminar19
Программа
1. Деление с остатком, наибольший общий делитель, алгоритм Евклида, основная теорема арифметики.
2. Кольца, целостные кольца, евклидовы кольца, факториальные кольца. Кольца вычетов, кольца многочленов.
3. Определение поля, характеристика, примеры. Комплексные числа.
4. Неприводимые многочлены, кольца вычетов по модулю многочлена, обратимость в кольце вычетов.
5. Китайская теорема об остатках для чисел, многочленов и для произвольных евклидовых колец.
6. Группы: определения и примеры. Теорема о цикличности подгрупп мультпликативной группы поля.
7. Идеалы в коммутативных кольцах, определение, примеры. Кольца главных идеалов.
8. Симметрическая группа, циклы и транспозиции . Разложение на непересекающиеся циклы.
9. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, фактор группы.
10. Автоморфизмы группы, примеры. Коммутаторы элементов группы, коммутант.
11. Группы преобразований, примеры. Орбиты действия группы преобразований на множестве,.
12. Группы диэдра: определение и примеры. Центр группы диэдра.
13. Ортогональные группы в трёхмерном пространстве, группы движений правильного тетраэдра и куба.
14. Действия групп на множествах. Точные, свободные и транзитивные действия. Орбиты и стабилизаторы..
15. Неподвижные точки, теорема Полиа-Бернсайда. Количество различных ожерелий и группа диэдра.
Литература
Городенцев А.Л., Алгебра. учебник для студентов-математиков. Часть 1Э.Б.Винберг, Курс алгебрыА.И.Кострикин, Введение в алгебру.