علم المثلثات أو حساب المثلثات هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا والمثلثات والتوابع المثلثية كالجيب والجيب التمام. وهو أحد فروع علم الهندسة العامة.

يكون مثلثان متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة. أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول ضعف طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول يكون ضعف طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. اعتمادا على هذه القوانين، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. وهناك القانون القائل انه إذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، وتكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين وتعتمد فقط على قيمة الزاوية، وستكون عددا بين 0 و1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على أنها النسبة بين الضلع المجاور لها والوتر.

الدالتان الجيب وجيب التمام هما أهم الدوال المثلثية. هناك أيضا توابع أخرى تُعرف بأخذ نسب أخرى من أضلاع المثلث القائم، أو نسب من التابعين الأساسيين الجيب وجيب التمام، هذه التوابع هي: ظل (ظا)، ظل تمام(ظتا)، قاطع (قا)، وقاطع تمام (قتا).

1. ظاس = جاس/ جتاس

2. ظتاس = 1 / ظاس ، ظتاس = جتاس/ جاس

3. قاس= 1/ جتاس

4. قتاس = 1/ جاس

5. جا^2س+جتا^2س= 1

6. قا^2س=1+ظا^2س

7. قتا^2س=1+ظتا^2س

8. جا( - س) = - جاس

9. جتا( - س) = جتاس

10. ظا( - س) = - ظاس

11. جا(90- س) = جتاس

12. جتا(90- س) = جاس

13. ظا(90- س) = ظتاس

14. جا(90 + س) = جتاس

15. جتا(90+ س) = - جاس

16. ظا(90 + س) = - ظتاس

17. جا(180- س) = جاس

18. جتا(180- س) = - جتاس

19. ظا(180- س) = - ظاس

20. جا(180+ س) = - جاس

21. جتا(180+ س) = - جتاس

22. ظا(180+ س) = ظاس

23. جا(360- س) = - جاس

24. جتا(360- س) = جتاس

25. ظا(360 - س) = - ظاس

26. جا(360 + س) = جاس

27. جتا(360 + س) = جتاس

28. ظا(360 + س) = ظاس

29. جا(أ+ب) = جاأجتاب+جتاأجاب ، جا( أ - ب) = جااجتاب-جتاأجاب

30. جتا(أ+ب) = جتاأجتاب - جااجاب ، جتا(أ - ب) = جتااجتاب+جااجاب

31. ظا(أ+ب) = (ظاأ+ظاب)/(1- ظاأظاب) ، ظا(أ - ب) = (ظاأ- ظاب)/(1+ظاأظاب)

32. 32- جا(أ+ب)جا(أ- ب) = جا^2أ - جا^2ب = جتا^2ب - جتا^2أ

33. جتا(أ+ب)جتا(أ- ب) = جتا^2أ- جا^2ب = جتا^2ب - جا^2أ

34. ظا(45+أ) = (1+ظاا)/(1- ظاأ) ، ظا(45- أ) = (1- ظاأ)/(1+ظاأ)

35. 2جاأجتاب = جا(أ+ب) + جا(أ- ب)

36. 2جتاأجاب = جا(أ+ب) - جا(أ - ب)

37. 2 جتاأجتاب = جتا(أ+ب) + جتا(أ - ب)

38. 2جاأحاب = جتا(أ- ب)- جتا(أ+ب)

39. جاأ + جاب = 2جا(أ+ب/2)جتا(أ- ب/2)

40. جاأ - جاب = 2جتا(أ+ب/2)جا(أ- ب/2)

41. جتاأ+ جتاب = 2جتا(أ+ب/2)جتا(أ- ب/2)

42. جتاأ - جتاب = 2جا(أ+ب/2)جا(أ- ب/2)

43. جا2أ = 2جاأجتاأ = 2ظاأ/(1+ظا^2أ)

44. جتا2أ = جتا^2أ - جا^2أ = 2جتا^2أ - 1 = 1-2جا^2أ = (1- ظا^2أ)/(1+ظا^2أ)

45. ظا2أ = 2ظاأ/(1- ظا^2أ)

46. جا3أ = 3جاأ - 4جا^3أ

47. جتا3أ = 4جتا^3أ - 3جتاأ

48. ظا3أ = (3ظاأ - ظا^3أ)/(1 - 3ظا^2أ)

49. جا18 = (جذر5 - 1)/4

القياس الدائري لزاوية مركزية = (طول القوس من دائرة محصور بين ضلعي الزاوية) / (طول نصف قطرهذه الدائرة).

القياس الدائري لزاوية مركزية = طول القوس من دائرة الوحدة المحصور بين ضلعيها.

القياس الدائري للزاوية = القياس الستيني لها في (ط/180)

القياس الستيني للزاوية = القياس الدائري لها في (180/ط)

اذا كان (س.ص) نقطة من دائرة الوحدة وعبرنا عن جتا هـ =س

جا هـ =ص ,هـ زاوية موجهة قياسية في دائرة الوحدة :

(جيب تمام الزاوية )=جتا هـ = س

(جيب الزاوية )=جا هـ = ص

(ظل الزاوية)=ظاهـ= ص/س=جا هـ/جتا هـ .

(القاطع)=قا هـ = 1/س=1/جتا هـ .

(قاطع التمام)=قتا هـ = 1/ص=1/جا هـ.

(ظل التمام)=ظتا هـ=س/ص =جتا هـ/جاهـ.

(أ):

جا(90- هـ)=جتا هـ .

جتا(90- هـ)=جا هـ .

ظا(90- هـ)=ظتا هـ .

جا(180- هـ)=جاهـ

جتا(180 - هـ)=-جتاهـ

ظا(180- هـ) -ظا هـ

حا(360 - هـ)=-جاهـ

جتا (360 -هـ)=جتا هـ

ظا (180 - هـ)=- ظا هـ

(ب):

جا(-هـ)=-جا هـ

جتا(- هـ)=جتا هـ

ظا(-هـ)=-ظا هـ

(ج):

جا(2ن ط - هـ)=-جا هـ ,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة

جتا(2ن ط - هـ)= جتا هـ ,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة

ظا (2ن ط - هـ )=-ظا هـ .,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة

في المثلث القائم الزاوية : زاويته الحادة هـ

جا هـ = المقابل / الوتر.

جتا هـ =المجاور / الوتر .

ظا هـ = المقابل / المجاور