Ximena Fernandez (City St Georges University of London)
El objetivo principal del curso es presentar una introduccion a la teoria de Homologia Persistente, una de las principales herramientas computacionales actuales para el Analisis Topologico de Datos.
Introduccion animada a Homologia Persistente by Mathew Wright, para una idea global del tema del curso.
Notas Dia 1: Datos, espacios métricos finitos y complejos simpliciales.
Notebook Mathematica: Cech vs Rips
Notas Dia 2: Homologia y Persistencia
Notas Dia 3: Barcodes
Algunas muestras de puntos de R^n para jugar con Ripser online y calcular los barcodes asociados a la filtracion de Vietoris-Rips:
Notebook Dia 4: Algoritmos
Abrir con Google Colab.
Slides Dia 5: Aplicaciones
(Abrir en browser, preferentemente Chrome).
UNIDAD 1 - Complejos simpliciales, filtraciones y nubes de puntos
Introducción a la topología combinatoria. Complejos simpliciales. Nubes de puntos y filtraciones a partir de espacios métricos finitos (Cech, Vietoris-Rips). Aproximación homotópica: Teorema del Nervio, teorema de Weinberger-Smale-Niyogi.
UNIDAD 2 - Homología y persistencia
Definición de homología simplicial, funtorialidad. Ejemplos y cálculo de grupos de homología. Módulos de persistencia. Introducción a la homología persistente. Teorema de Estructura y barcodes. Teorema de Estabilidad. Teorema de Convergencia. Ejemplos y cálculo de homología persistente.
UNIDAD 3 - Cálculo de homología persistente y aplicaciones
Algoritmos y software para cálculo de homología persistente. Demostración de código. Aplicaciones prácticas: Análisis de datos a partir de modelos topológicos. Aplicaciones a sistemas dinámicos, medicina, neurociencia, biología, entre otros.
Entregar alguno de los siguientes ejercicios por mail antes del 31/08.
Boissonnat, Jean-Daniel, Frederic Chazal, and Mariette Yvinec. Geometric and Topological Inference. Cambridge University Press, 2018.
Carlsson, Gunnar. Topology and data. Bulletin of the American Mathematical Society. 46.2 (2009): 255-308.
Edelsbrunner, Herbert, and John Harer. Persistent homology - a survey. Contemporary Mathematics. 453.26 (2008): 257-282.
Edelsbrunner, Herbert, and John L. Harer. Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Society, 2022.
Ghrist, Robert. Barcodes: the persistent topology of data. Bulletin of the American Mathematical Society. 45.1 (2008): 61-75.
Rabadan, Raul, and Andrew J. Blumberg. Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology. Cambridge University Press, 2019.
Otter, N., Porter, M.A., Tillmann, U. et al. A roadmap for the computation of persistent homology. EPJ Data Sci. 6, 17 (2017)
Listado de softwares para calcular homogia persistente, con sus caracteristicas:
CAT: The Computational and Applied Topology List
Base de datos de aplicaciones de topologia
DONUT: Database of Original & Non-theoretical Uses of Topology
Algunas de mis aplicaciones de homologia persistente (en colaboracion con computadores, fisicos, neurocientificos y hasta Spotify!):
W. Reise, X. Fernandez, M. Dominguez. H. A. Harrington and M. Beguerisse-Diaz, Topological fingerprints for audio identification. SIAM Journal on Mathematics of Data Science Vol. 6 Iss. 3 (2024).
X. Fernandez, E. Borghini, G. Mindlin and P. Groisman. Intrinsic persistent homology via density-based metric learning. Journal of Machine Learning Research, 24 (2023) no. 75, 1-42.
S. Benas, X. Fernandez and E. Kropff. Modeled grid cells aligned by a flexible attractor. eLife (2023) 12:RP89851.
X. Fernandez and D. Mateos. Topological biomarkers for real-time detection of epileptic seizures. Preprint. (2022) arxiv:2211.02523.
Un canal de Youtube con Tutoriales, Seminarios de charlas de investigacion y Aplicaciones de Topologia Algebraica.