Алгебра

ВШЭ, матфак, первый курс

2 семестр. Лектор: Леонид Григорьевич Рыбников

Семинаристы: Андрей Михайлович Левин, Василий Геннадьевич Горбунов, Леонид Григорьевич Рыбников, Антон Сергеевич Хорошкин, Евгений Борисович Фейгин, Осип Владимирович Шварцман

Объявления

Письменный экзамен по материалам 4-го модуля состоится в четверг, 25 июня, с 12:00 до 14:00. В каждом варианте будет 3 задачи по темам программы экзамена. Программа письменного экзамена.

Контрольная работа по нормальным формам линейных операторов состоится во вторник с 17:00 до 19:00. Инструкции будут разосланы на почту накануне.

В 4 модуле курс Алгебра-1 переходит на дистанционный формат. Все семинары и лекции будут вестись в Zoom по расписанию 3 модуля (пока не установится расписание 4 модуля). Коллоквиум будет заменен теоретическим домашним заданием по той же программе ( Программа коллоквиума ).

Неделя 30 марта-5 апреля нерабочая, семинаров и лекций нет.

Следите за объявлениями.

Листок для досрочной сдачи Листок 4 . Сдавать листок можно (по предварительной договорённости) до пятницы 17 мая включительно. Сдача всех задач без звездочки дает автоматом оценку 10 за все контрольные и д/з в 4 модуле. Дополнительно, сдача всех задач со звездочкой дает автоматом оценку 10 за экзамен. Оценок ниже 10 за сдачу листка не предусмотрено. Сдавать листок можно следующим семинаристам и ассистентам: Леонид Рыбников, Евгений Фейгин, Антон Хорошкин, Илья Левин, Илья Думанский.

Формула итоговой оценки во 2 семестре: 0.2 ДЗ + 0.2 КР + 0.2 Коллоквиум + 0.4 Экзамен. Суммарная оценка округляется до ближайшего целого числа.

Листок для досрочной сдачи Листок 3 . Сдавать листок можно (по предварительной договорённости) до пятницы 13 марта включительно. Сдача всех задач без звездочки дает автоматом оценку 10 за все контрольные и д/з в 3 модуле. Дополнительно, сдача всех задач со звездочкой дает автоматом оценку 10 за коллоквиум. Оценок ниже 10 за сдачу листка не предусмотрено. Сдавать листок можно следующим семинаристам и ассистентам: Леонид Рыбников, Евгений Фейгин, Антон Хорошкин, Илья Левин, Илья Думанский.

Во вторник 25 февраля в 10:30 (вместо лекции) будет контрольная работа по абелевым группам.

Во вторник 4 февраля в 10:30 (вместо лекции) будет контрольная работа по композиционным рядам и силовским подгруппам.

В среду, 25 марта будет коллоквиум по материалам третьего модуля. Программа коллоквиума .

Лекции

Лекция 14, 14.01.20. Нормальные подгруппы и фактор-группы. Расширения групп. Прямое и полупрямое произведение. Простые группы. Субнормальные и композиционные ряды. Разрешимые группы.

Лекция 15. 21.01.20. Теорема Жордана-Гёльдера. Разрешимость p-групп.

Лекция 16. 28.01.20. Теоремы Силова. Представление группы порядка pq в виде полупрямого произведения.

Лекция 17, 11.02.20. Абелевы группы. Свободные абелевы группы. Теорема о взаимных базисах

Лекция 18. 18.02.20. Классификация конечнопорожденных абелевых групп.

Лекция 19. 03.03.20. Модули над евклидовыми кольцами. Свободные модули. Теорема о взаимных базисах.

Лекция 20. 10.03.20. Модули над кольцом многочленов. Фробениусова и жорданова нормальные формы линейного оператора. Теорема Гамильтона-Кели.

Лекция 21. 24.03.20. (дистанционная лекция) Жорданова нормальная форма и ее приложения. Запись лекции

Лекция 22. 07.04.20. (дистанционная лекция) Линейные операторы в евклидовом пространстве. Запись лекции

Лекция 23. 14.04.20. (дистанционная лекция) Эрмитовы пространства и операторы. Запись лекции

Лекция 24. 21.04.20. (дистанционная лекция) Факториальность и лемма Гаусса. Запись лекции

Лекция 25. 28.04.20. (дистанционная лекция) Приложения факториальности. Результант и теорема Безу для кривых. Запись лекции

Лекция 26. 12.05.20. (дистанционная лекция) Дискриминант. Теорема о симметрических многочленах. Формулы для корней многочленов степеней 3 и 4. Запись лекции, часть 1. Запись лекции, часть 2.

Лекция 27. 19.05.20. (дистанционная лекция) Нетеровы кольца. Теоремы Гильберта о базисе и об инвариантах. Запись лекции, к сожалению, утрачена.

Лекция 28. 26.05.20. (дистанционная лекция) Консультация. Запись лекции

Семинары

Семинар 14. seminar14

Семинар 15. seminar15

Семинар 16. seminar16

Семинар 17. seminar17

Семинар 18. seminar18

Семинар 19. seminar19

Семинар 20. seminar20

Семинар 21. seminar21

Семинар 22. seminar22

Семинар 23. seminar23

Семинар 24. seminar24

Семинар 25. seminar25

Семинар 26. seminar26

Семинар 27. seminar27

Семинар 28. seminar28

Семинар 29. seminar29

Семинар 30. seminar30

Литература

Городенцев А.Л., Алгебра. учебник для студентов-математиков. Часть 1

Э.Б.Винберг, Курс алгебры

А.И.Кострикин, Введение в алгебру.

АРХИВ. 1 семестр. Лектор: Евгений Борисович Фейгин

Семинаристы: Андрей Михайлович Левин, Никита Суренович Маркарян, Павел Сергеевич Осипов, Леонид Григорьевич Рыбников, Антон Сергеевич Хорошкин, Евгений Борисович Фейгин, Осип Владимирович Шварцман

Объявления

Устный экзамен состоится в пятницу 27 декабря с 10.00, аудитории 110 и 306. Билеты к экзамену Билеты

Формула итоговой оценки: 0.2 ДЗ + 0.2 КР + 0.2 Коллоквиум + 0.4 Экзамен. Оценка 10 за ДЗ ставится за 190 баллов; если количество баллов B меньше 190, то ДЗ= B/19 . Оценка 10 за КР ставится за 38 баллов; если количество баллов B меньше 38, то КР=B/3.8 . Суммарная оценка округляется вверх до ближайшего целого числа, которое не меньше итоговой оценки.

Список студентов, допущенных к сдаче досрочного экзамена Список

Листок для сдачи досрочного экзамена Листок2 . Сдавать листок можно своему семинаристу (по предварительной договорённости) до пятницы 20 декабря включительно. По результатам сдачи семинарист может поставить сдающему автоматом оценки 8,9, 10 или рекомендовать регулярную сдачу экзамена 27 декабря.

Лекции

Лекция 1, 10.09.19. Целые числа, делимость, алгоритм Евклида, основная теорема арифметики. Определение кольца.

Лекция 2. 17.09.19. Целостные кольца, кольцо многочленов, кольцо вычетов. Евклидовы кольца, определение нормы, наибольший общий делитель, простые элементы, неприводимые многочлены, алгоритм Евклида.

Лекция 3. 24.09.2019. Отношение эквивалентности, фактор конструкция, индуцированные операции. Поля, характеристика поля. Многочлены, деление с остатком.

Лекция 4. 01.10.2019. Факторкольца многочленов, явная реализация, алгебраические числа. Фактор по неприводимым многочленам, построение новых полей, в том числе конечных.

Лекция 5. 15.10.2019. Китайская теорема об остатках для чисел и для многочленов. Определение групп, абелевы группы. Примеры групп, мультипликативная группа поля.

Лекция 6. 29.10.2019. Группы, подгруппы, примеры. Гомоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы групп. Циклические группы и группы с конечным числом порождающих. Ортогональная группа и группа диэдра. Классы смежности, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы.

Лекция 7. 05.11.2019. Примеры смежных классов и (не)нормальных подгрупп. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Ядра гомоморфизмов и нормальные подгруппы.

Лекция 8. 12.11.2019. Слои гомоморфизмов, разложение гомоморфизма в композицию проекции и вложения. Перестановки, транспозиции, чётность. Группы преобразований: орбиты, стабилизаторы. Формула для длины орбиты.

Лекция 9. 19.11.2019. Действия групп на множествах, орбиты, стабилизаторы. Транзитивные, свободные и точные действия. Действие группы на себе справа и слева. Присоединённое действие, классы сопряжённых элементов. Цикловая структура для перестановок, количество элементов в стабилизаторе данной подстановки для присоединённого действия.

Лекция 10. 26.11.19. Формула Полиа-Бернсайда для числа орбит. Применение к подсчёту количества различных ожерелий. Четверная подгруппа Кляйна, её нормальность, фактор-группа. Общие и специальные линейные группы, фактор-группа GL(n) по SL(n). Определение идеала в кольце, главные идеалы, образующие идеала, примеры.

Лекция 11. 03.12.19. Гомоморфизмы колец, ядро и образ. Фактор кольца по идеалу, смежные классы, структура фактор-кольца. Кольца главных идеалов, евклидовы кольца - КГИ. Наибольший общий делитель в КГИ. Тривиальные идеалы, кольца без нетривиальных идеалов. Фактор пространства, базисы в фактор пространствах.

Лекция 12. 10.12.19. Двойственное пространство к фактор пространству и аннуляторы. Двойственные операторы, ядра и образы. Коммутант группы, нормальность коммутанта, коммутативность фактора по коммутанту. Специальная линейная группа целочисленных матриц, критерий наличия целочисленной обратной матрицы у целочисленной матрицы.

Лекция 13. 17.12.2019. Консультация.

Семинары

Семинар 1. seminar1

Семинар 2. seminar2

Семинар 3. seminar3

Семинар 4. seminar4

Семинар 5. seminar5

Семинар 6. seminar6

Семинар 7. seminar7

Семинар 8. seminar8

Семинар 9. seminar9

Семинар 10. seminar10