Ejercicios Geométricos Básicos

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES

TRAZADO DE RECTAS PERPENDICULARES

Ejercicio N°4: Por un punto perteneciente a una recta (con compás):

Haciendo centro en A (punto dado y perteneciente a la recta a, también dada) y con un radio arbitrario, se obtienen los puntos B y C sobre dicha recta. Utilizando ahora estos puntos como centros y con un radio mayor que la mitad de su distancia, se describen los arcos que se cortan en D. La recta que une A con D es la perpendicular a la recta (a) y que pasa por el punto A.

Ejercicio N°5: Por un punto fuera de una recta.

Haciendo centro en el punto A y con un radio mayor que la distancia a la recta (a) dada, se describe un arco de circunferencia, que corta a dicha recta en los puntos B y C. Ahora haciendo centro en los puntos B y C, y con un radio arbitrario (puede ser el mismo que el anterior) se obtiene la intersección en el punto D. Uniendo D con A  se obtendrá la perpendicular a la recta (a) y que pasa por el punto A.

Ejercicio N°6: Por el extremo de un segmento (con compás):

Se elige un punto (O) arbitrario, utilizado como centro, se describe un arco de circunferencia con radio OB que corta al segmento en el punto C. Uniendo el punto C con el punto O por medio de una recta que es  prolongada  hasta cortar el arco de circunferencia en el punto D. La recta que une el punto B con el D es la perpendicular pedida.

Ejercicio N°7: Por un punto cualquier de un segmento (con compás)

Una vez determinado el punto C, por donde queremos que pase la recta perpendicular, trazamos desde ese punto C un arco de circunferencia de radio arbitrario que corte al segmento en dos puntos, llamados D y E. Haciendo centro en dichos puntos y con el mismo radio se trazan sucesivamente arcos alrededor de los puntos y se van obteniendo otros sucesivamente  (F, G, hasta el H). Al unir el H con el C obtendremos la perpendicular al segmento AB.

TRAZADO DE RECTAS PARALELAS

TRAZADO DE RECTAS PARALELAS (IMPORTANTE)

Ejercicio N°8: Por un punto dado (con compás)

Haciendo centro en un punto dado A y con un radio mayor que el de su distancia a la recta dada a, se describe un arco, que cortará a dicha recta en el punto B. Luego, con centro en ese punto y el mismo radio, se debe trazar un nuevo arco que pasa por A y corta a la recta en el punto C. Tomando con el compás la distancia C-A, y aplicada a partir del punto B, se corta el arco en el punto D, que al unirlo con el punto A nos dará la recta paralela que buscamos.

DIVISIÓN DE ÁNGULOS

Ejercicio N°9: En dos partes iguales (con compás).

Haciendo centro en el vértice A, y con un radio arbitrario se traza un arco que corta a los lados del ángulo en los puntos B y C. Con el mismo radio pero haciendo centro en B y C trazamos dos arcos que se cortarán en el punto D. Uniendo el punto D con A se genera la BISECTRIZ que divide al ángulo.

Ejercicio N°10: Un ángulo recto en tres partes iguales (con compás).

Con un arco de radio arbitrario y con centro en V se cortan los lados del ángulo en los puntos A y B. Con el mismo radio pero ahora con centro en A y B se corta al primer arco en los puntos C y D, que unidos mediante rectas con V, dividen en tres partes iguales al ángulo recto.

Otra manera de efectuar la división, es utilizando la escuadra de 30°-60°, que apoyada sobre la regla T, nos brinda otra solución al problema, sin el uso de compás.

CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS

Ejercicio N° 12: DADO UN ÁNGULO CONSTRUIR OTRO IGUAL (con compás)

Se sitúa un punto A' como vértice del nuevo ángulo a obtener, a partir del cual se traza una recta de inclinación arbitraria como uno de sus lados. Luego con radio arbitrario y centro en el vértice A del ángulo dado trazamos un arco de circunferencia que corta a los lados en los puntos B y C, haciendo centro ahora en el punto A' y con el mismo radio trazamos un arco que corta la recta en el punto B' Medimos con el compás la distancia existente entre los puntos BC del ángulo dado y la transportamos a partir del punto B', cortando el arco trazado con anterioridad en el punto C' que al unirlo con el A' nos dará un ángulo igual al dado.

Ejercicio N° 13: TRAZAR UN ÁNGULO, IGUAL A LA SUMA DE DOS ÁNGULOS DADOS (CON COMPÁS) 

Para resolver este caso, utilizamos el procedimiento explicado en el caso anterior, es decir transportamos uno de los ángulos a partir de una semirrecta (cuyo origen es A) que trazamos previamente, a continuación y usando  el lado del ángulo obtenido como nuevo punto de partida, repetimos el procedimiento con el segundo de los ángulos, formando de esta manera el ángulo buscado que es la suma de los dos ángulos dados.

Otro método: También podemos resolver este caso utilizando el transportador, efectuamos la medición de los ángulos, luego sumamos matemáticamente y con dicho valor a partir de una  semirrecta, trazamos con el transportador él nuevo ángulo.

Ejercicio N° 14: TRAZAR LA BISECTRÍZ DE UN ÁNGULO, CUYO VÉRTICE ESTA FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO (CON COMPÁS) 

Por alguno de los procedimientos ya aprendidos, trazamos hacia el interior del ángulo, rectas paralelas a los lados del ángulo dado, y que se encuentren  a una misma distancia de éstos, de manera que se corten formando un punto A. Resta aplicar uno de los métodos de obtención de la bisectriz  al  ángulo formado por las rectas trazadas, que será  la bisectriz  buscada.

DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA

Ejercicio N° 15: DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN 4, 8, 16, ETC. PARTES IGUALES  (CON COMPÁS)

Se trazan dos diámetros perpendiculares que dividen a la circunferencia en 4 partes iguales. A continuación se trazan las bisectrices de los ángulos rectos formados anteriormente, con lo que se obtienen 8 divisiones.

Los ángulos resultantes pueden a su vez ser divididos por bisectrices con lo que se duplica el número de divisiones a 16, y continuamos así sucesivamente, para seguir obteniendo más divisiones.

El video está en  PORTUGUES, sin embargo la explicación es clara y se puede apreciar como resolver la actividad. 

Ejercicio N° 16: DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN 4 Y 8 PARTES IGUALES  (CON LA ESCUADRA DE 45°)

Se trazan los ejes perpendiculares con regla T y escuadra (uno horizontal y el otro vertical), dividiéndose la circunferencia en 4 partes iguales.

Con la escuadra de 45°, se trazan dos rectas que pasen por el centro (O) de la circunferencia lo que determina la división de la circunferencia en 8 partes iguales.

En el siguiente video se refiere a la escuadra como "cartabón", término que no es frecuentemente empleado en nuestra región.

Ejercicio N° 17: DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 3, 6, 12 PARTES IGUALES (CON COMPÁS)

Se trazan los diámetros perpendiculares obteniendo los puntos A, B, C y D. Haciendo centro en B y con radio BO se describe un arco que determina los puntos E y F. Los puntos A, E y F dividen la circunferencia en 3 partes iguales. Se procede de igual forma a partir del punto A obteniendo los puntos G y H. Por lo tanto los puntos A, H, E, B, F y G dividen a la circunferencia en  6 partes iguales.                                                                                                     Partiendo ahora del puntos C obtenemos I, J y desde el punto D obtenemos K y L por lo que los puntos A, K, H, D, E, L, B, J, F, C, G e I son las 12 divisiones de la circunferencia buscadas.

Ejercicio N° 18: DIVISIÓN EN 6 O 12 PARTES IGUALES (CON ESCUADRAS)

Trazando el eje horizontal y dos diámetros con el ángulo de 60° de la escuadra, se obtienen 6 divisiones iguales de la circunferencia.

Utilizando el ángulo de 30° de la escuadra se trazan dos diámetros y con el eje vertical, se logran las otras 6 divisiones, por lo que de esta manera logramos 12 divisiones.

Ejercicio N° 19: DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON TRANSPORTADOR

Debe procederse a dividir el valor de la circunferencia en grados (360°), por el número de partes en que se desea dividir. El valor obtenido de la división anterior, se aplica sucesivamente con la ayuda del transportador marcando puntos que unidos al centro O de la circunferencia mediante rectas determinarán las divisiones que se desean.

En este caso deberán trazar una circunferencia, y luego dividirla en 9 partes iguales. Es decir, deberán dividir 360° entre 9 para conocer cada cuantos grados deben realizar la división.

TRAZADO DE RECTAS  VINCULADAS A CIRCUNFERENCIAS

Ejercicio N° 21: TRAZAR POR UN PUNTO (A) DE UNA CIRCUNFERENCIA, UNA RECTA TANGENTE

Con centro en A y radio igual  a AO, se describe un arco que corta a la circunferencia  en el punto B. Ahora con el mismo radio pero con centro en B trazamos una semicircunferencia que cortará  la prolongación del radio OB en el punto C. La recta que une A con C será la tangente pedida, siendo además perpendicular al radio OA.

IMPORTANTE: VER EL VIDEO A PARTIR DE 1:09.

Ejercicio N° 22: TRAZAR DESDE UN PUNTO (A) DADO FUERA DE UNA CIRCUNFERENCIA, DOS RECTAS TANGENTES

Se une el punto A con el centro O de la circunferencia, luego determinamos el punto medio de dicho segmento, que resulta ser el punto B, en el cuál hacemos centro y con radio BO describimos un arco de circunferencia que cortará a la circunferencia dada en los puntos C y D, que serán los puntos de contacto de las tangentes. Finalmente se unen mediante rectas dichos puntos C y D con el punto A obteniendo las tangentes pedidas.

Ejercicio N° 23: TRAZAR LAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS

En primer lugar se determina la diferencia entre el radio mayor  y el radio menor, con ésta medida se describe una circunferencia auxiliar con centro es O. Ahora el problema queda reducido a el caso resuelto en el ejercicio anterior, determinándose por el mismo procedimiento las tangentes BO’ y CO’. Las tangentes buscadas serán paralelas a las tangentes recientemente obtenidas, y sus puntos de contacto D y E se obtienen al prolongar los radios OB y OC.

Ejercicio N° 24: TRAZAR LAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS

 En primer lugar se determina la suma  de los radios de las circunferencias dadas, con esta medida  trazamos una circunferencia auxiliar cuyo centro es O. Unimos con una recta los centro de las circunferencias dadas y determinamos su punto medio A en donde hacemos centro y con un radio igual a la distancia OA trazamos un arco que corta a la circunferencia auxiliar en los puntos B y C que son puntos de contactos de las tangentes BO’ y CO’. A continuación trazamos los radios OB y OC que cortaran a la circunferencia en E y D, por donde debemos trazar rectas paralelas a BO’ y CO’ que son las tangentes buscadas.

CONSTRUCCIÓN DE POLIGONOS

Construcción de Triángulos

Ejercicio N° 25: CONSTRUIR UN TRIÁNGULO EQUILATERO DADO EL LADO (CON COMPÁS)

Se dibuja un segmento AB igual a la medida de él lado dado. Luego con el compás tomamos la medida de dicho lado AB y haciendo centro en los puntos A y B, se describen arcos que al cortarse determinan el punto C. Uniendo dicho punto C, primero con A y luego con B se obtiene el triángulo pedido.

Ejercicio N° 26: CONSTRUIR UN TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO DADO SUS LADOS (CON COMPÁS)

Se traza un segmento AB igual a uno de los lados, por ej. el (b), luego con el compás se toma la medida de otro de los lado (a) y se traza un arco con centro en B y desde el punto A un arco de radio igual al lado (c) obteniéndose el punto C. Uniendo con rectas los puntos A y B, con el punto C se construye el triángulo requerido.

Ejercicio N° 27: CONSTRUIR UN TRIÁNGULO DADO DOS LADOS Y UN ÁNGULO (CON COMPÁS)

Se traza un segmento AB igual al lado (b), en uno de los extremos se construye un ángulo igual al ángulo dado (aplicamos el ej. N° 12). Con el compás tomamos la magnitud del lado restante (a) y haciendo centro en el vértice del ángulo, se describe un arco, obteniéndose el punto C que al unirlo con el otro extremo del segmento AB nos permite obtener el triángulo pedido.

Ejercicio N° 28: CONSTRUIR UN TRIÁNGULO, DADO UNO DE SUS LADOS Y DOS ÁNGULOS (CON COMPÁS)

Trazamos un segmento AB igual al dado y en cada extremo del mismo construimos  los dos ángulos dados, aplicando el ej. N° 12 aprendido,  al prolongar sus lados, se cortaran en el punto C, que es el vértice del triángulo requerido.

CONSTRUCCION DE PARALELOGRAMOS

EJERCICIO N°29: CONSTRUIR UN CUADRADO, DADO UN LADO (CON COMPÁS)

Trazamos un segmento AB igual al lado dado (a), para luego en uno de sus extremos trazar una perpendicular formando un ángulo recto (ver ejercicio N° 6). Sobre  dicho lado obtenido, se aplica con el compás BC igual a la medida del lado (a). Ahora pero con centros en los punto A y C y el mismo radio BC (medida del lado a) se describen arcos que se cortaran en el punto D. Uniendo D, con A y  C mediante rectas, se obtendrá el cuadrado pedido.

EJERCICIO N° 30: CONSTRUIR UN PARALELOGRAMO, DADO DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO (CON COMPÁS)

Trazamos como base el segmento AB igual al lado (b), luego en uno de sus extremos construimos un ángulo igual al dado (ver ej. N° 12), sobre cuyo lado libre se le aplica el valor del lado (a). Ahora con centro en B y un  radio igual al lado (a) y con centro en C y un radio igual al lado (b)  obtenemos el punto D, que al unirlo con B y C completan la figura.