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Profesor: Pablo Groisman
Materia optativa para la Lic., Prof. y Doc en Cs. Matemáticas, Lic. y Doc. en Cs. de Datos. Estudiantes de otras carreras afines son también bienvenidos/as.
Cuatrimestre: 1er cuatrimestre 2026.
Inicio de clases: marzo 2026.
Puntaje sugerido (pendiente de aprobación): 4 puntos (Lic. Mat)/ 96hs (LCD).
Horario: lunes y miércoles de 14 a 17hs.
Modalidad: teórico-práctico.
Requisitos: al menos un curso de probabilidad. En principio no más que eso, pero quienes tengan conocimientos de análisis real, teoría de la medida o probabilidad avanzada, serán aprovechados. Al igual que conocimientos básicos de programación en algún lenguaje.
El cálculo estocástico es una rama de la matemática que opera sobre procesos con componentes aleatorias. Permite definir una teoría de integración consistente para integrales de procesos estocásticos con respecto a otros procesos estocásticos. Debido a la naturaleza aleatoria de los mismos, sus trayectorias suelen ser muy irregulares y el cálculo tradicional no es aplicable. Kiyosi Itô (y Wolfang Doeblin, ver abajo), durante la Segunda Guerra Mundial crearon las herramientas para manipularlos, probar su existencia en tanto objetos matemáticos y sus propiedades.
El proceso estocástico más conocido al que se aplica el cálculo estocástico es el proceso de Wiener (llamado así en honor a Norbert Wiener), que se utiliza para modelar el movimiento browniano descrito por Louis Bachelier en 1900 y redescubierto independiente por Albert Einstein en 1905 en su afán de demostrar la existencia de los átomos y las moléculas como entes concretos. También se utiliza en otros procesos físicos de difusión espacial de partículas sujetas a fuerzas aleatorias. Desde la década de 1970, el proceso de Wiener y las difusiones se han aplicado ampliamente en matemática financiera y economía para modelar la evolución temporal de los precios de las acciones y los tipos de interés de los bonos. Recientemente han vuelto al centro de la escena de la mano de los modelos de difusión, que vienen teniendo gran éxito en la generación automática de imágenes y video a partir de texto.
Este curso, como indica su nombre, trata sobre esta rama de la matemática. Vamos a discutir algunas de las aplicaciones, pero el foco va a estar en la matemática.
1. Introducción: Modelos gobernados por ecuaciones diferenciales estocásticas.
2. Breve introducción a la teorı́a de probabilidades: Variables aleatorias. Esperanza, varianza. Funciones de distribución. Independencia. Lema de Borel-Cantelli. Funciones caracterı́sticas. Ley fuerte de los grandes números, Teorema Central del Lı́mite. Esperanza condicional. Procesos estocásticos. Martingalas a parámetro discreto y continuo. Teorema de convergencia y Teoremas de Doob.
3. Movimiento Browniano. Motivación y definiciones. Construcción del movimiento Browniano de Lévy-Ciesileski. Regularidad de las trayectorias del proceso de Wiener. Markovianeidad.
4. Integrales estocásticas: Integral de Paley-Wiener-Zygmund. Definición y propiedades de la intergral de Ito. Integral de Itô indefinida. Integral de Stratonovich.
5. Ecuaciones diferenciales estocásticas: Noción de solución. Soluciones fuertes y débiles. Ejemplos. Teorema de existencia y unicidad. Dependencia en los parámetros. Ecuaciones diferenciales estocásticas lineales. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Ecuación de Langevin. Markov Chain Monte Carlo.
6. El problema de la salida de un dominio. Breve introducción a la teoría de Freidlin-Wentzell. Grandes desvı́os. Medidas invariantes. Teorema ergódico. Principio de promediación.
7. Aplicaciones. Modelos de difusión. Mecánica Estadística. Ecuación de Langevin y descenso por gradiente estocástico. Recocido simulado. Modelos biológicos en neurociencia y dinámica de poblaciones. Filtro de Kalman. Control estocástico. Valuación de activos.
L.C. Evans, An introduction to stochastic differential equations. Vol. 82. American Mathematical Soc., 2012.
G.F. Lawler, Stochastic Calculus: An Introduction with Applications, 2023.
I. Karatzas, y S. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus. Vol. 113. springer, 2014.
B. Oksendal, Stochastic differential equations, Springer, Berlin, 1995.
E. Olivieri, y M.E. Vares. Large deviations and metastability. No. 100. Cambridge University Press, 2005.
S.R.S. Varadhan, Stochastic processes. Vol. 16. American Mathematical Soc., 1968.
L. Arnold, Stochastic differential equations: theory and applications, Versión original en alemán, Wiley-Intersci., New York, 1974
K.L. Chung, Elementary probability theory with stochastic processes, Segunda edición, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag New York, New York-Heidelberg, 1975.
~1665-1666 Newton y Leibnitz introducen el cálculo infinitesimal moderno. Huelga nombrar el impacto que tuvo en todas las disciplinas científicas y tecnológicas. En paralelo, tan solo una década antes, Fermat y Pascal inician su célebre correspondencia que da inicio a la era probabilística.
1900 L. Bachellier se doctora bajo la dirección de H. Poincaré. En su tesis introduce un modelo para estudiar la dinámica de la bolsa de valores de París que coincide con el que unos años después consideraría Einstein bajo el nombre Movimiento Browniano.
1905 Como parte de sus contribuciones en su Annus Mirabilis, A. Einstein introduce (desinformado acerca del trabajo de Bachellier) el Movimiento Browniano como herramienta para explicar la dinámica molecular y dar por cerrada la discusión sobre la naturaleza molecular de la materia.
1923 N. Wiener demuestra que el Movimiento Browniano efectivamente existe en tanto objeto matemático y prueba algunas de sus propiedades. Actividad que continúa hasta el día de hoy.
1933 A. Kolmogorov establece las bases para el estudio riguroso de la teoría de probabilidades y la sienta definitivamente en la mesa de la matemática, a la que no pertenecía hasta ese momento. Dos años antes desarrolla la teoría de procesos de Markov continuos (difusiones) e introduce (y resuelve) las "ecuaciones de Kolmogorov" para calcular sus distribuciones. La teoría de Kolmogorov es principalmente analítica. No lidia con las trayectorias de los procesos sino con sus semigrupos.
1940 W. Doeblin, reclutado en el ejército francés y destinado a la Línea Maginot, envía en febrero el Pli Cacheté 11.668 a la Academia de Ciencias de París. En junio, cuando nota que los Nazis vienen por él ante la rendición de su compañía, quema todas sus notas y se suicida.
1951 K. Itô publica su famoso artículo con su (aún más) famosa fórmula y el vínculo entre las trayectorias de los procesos que él construyó a partir de sus integrales estocásticas y el enfoque de Kolmogorov.
1973~2000 Black y Scholes (y Merton) publican su famosa fórmula para la valuación de activos, que había sido sugerida por Samuelson y McKean Jr. una década antes. Reciben el premio Nobel de economía (en 1997) y generan un gran impacto en el mundo financiero en donde, para bien o para mal, el cálculo estocástico pasa a jugar un rol fundamental.
2000 A pedido del hermano de Doeblin, la Academia de Ciencias de París abre el Pli Cacheté 11.668 (el procedimiento indica que solo puede abrirse a pedido del remitente o luego de 100 años, pero la academia decide hacer una excepción). Al abrirlo, el mundo descubre que Doeblin había desarrollado una teoría muy similar a la que realizaría Itô posteriormente, obviamente desconociendo el trabajo de Itô, ya que no existía en ese entonces. A partir de ahí, al cálculo de Itô se lo empieza a denominar cálculo de Itô-Doeblin.
2014 Martin Hairer obtiene la Medalla Fields por sus destacadas contribuciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, y en particular por la creación de una teoría de estructuras de regularidad para dichas ecuaciones. Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas son a las difusiones lo que las ecuaciones en derivadas parciales tradicionales a las ecucaciones diferenciales ordinarias: además de la evolución temporal, hay derivadas espaciales involucradas.
2015~2026 El cálculo estocástico lo hace de nuevo. Las difusiones se convierten en herramienta fundamental para los modelos de difusión que consiguen un gran éxito en la generación de imágenes y videos sintéticos a partir de texto así como también en el diseño molecular y vuelven a estar en el centro de la escena. Nuevamente el cómo, cuándo y para qué de su uso es objeto de (relevante) debate, con aristas éticas, filosóficas y morales.
2026 - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. En marzo arranca Cálculo Estocástico
El paradigma general es el siguiente:
Se crea un modelo matemático a partir de algún fenómeno del mundo real. Generalmente, este modelo requiere simplificación y no describe con precisión la situación real. Se espera que los modelos sean robustos, en el sentido de que si el modelo no se aleja mucho de la realidad, sus predicciones también serán bastante precisas.
El modelo consiste en supuestos matemáticos sobre el mundo real.
Dados estos supuestos, se realiza un análisis matemático para determinar sus implicaciones. El análisis puede ser de varios tipos:
Derivaciones rigurosas de consecuencias.
Derivaciones plausibles, pero no matemáticamente rigurosas.
Aproximaciones del modelo matemático que permiten realizar cálculos manejables.
Cálculos numéricos con computadoras.
Para modelos que incluyen aleatoriedad, simulaciones de Monte Carlo utilizando un generador de números (pseudo)aleatorios.
Si el análisis matemático es exitoso, se realizarán predicciones sobre el mundo real. Estas predicciones se verifican posteriormente. Si las predicciones son erróneas, existen dos posibles razones:
El análisis matemático fue defectuoso.
El modelo no refleja la realidad con suficiente precisión.
Quien utiliza la matemática no siempre necesita conocer los detalles del análisis matemático, pero es fundamental comprender los supuestos del modelo. Por muy preciso o sofisticado que sea el análisis, si los supuestos son erróneos o no se sostienen lo suficiente, no se puede esperar una buena respuesta.