Seminario de Lógica - Universidad de los Andes

SEMINARIOS 2019

Funciones dóciles en grupos abelianos ordenados dp-minimales y de rango finito

John Goodrick (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 19 de Marzo de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Considere un grupo abeliano G con un orden denso, posiblemente con estructura definible adicional. ¿Cuándo son todas las funciones definibles en G “dóciles” con respecto a la topología del orden? El caso más estudiado es cuando G es o-minimal: aquí las funciones unarias definibles son continuas y monótonas menos en finitos puntos. Vamos a discutir cómo se puede (y como no se puede) generalizar esto al contexto donde G dp-minimal, o G tiene dp-rango finito.

Tame Expansion of Presburger Arithmetic -- First Steps

Alfred Dolich (Kingsborough Community College - CUNY)


Fecha: Martes 12 de Marzo de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Abstract:

The general study of "tame" expansions of the real field or real group is by now a well established subject. Beginning with the introduction of o-minimality in the 1980's various notions of tameness generalizing o-minimality have been proposed and studied, for example d-minimality or o-minimal open core. In general such tameness notions are often roughly defined by saying that any definable subset of the line is either "very large" or "very small". In this talk I will talk about some preliminary work, joint with Chris Miller, on attempting to develop a theory of "tame" expansions of Presburger arithmetic. I will focus initially on on what an appropriate very large/very small dichotomy should be in this context and then discuss some general results on how to obtain such expansions.

Acerca de la lógica L^1_\kappa de Shelah.

Andrés Villaveces (Universidad Nacional)

Fecha: Martes 5 de Marzo de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Hace unos años Shelah definió una nueva lógica infinitaria llamada L-uno-kappa. Damos una formulación alternativa de esta lógica y demostramos que es equivalente a la original; nuestra formulación tiene algunas ventajas al compararse con la versión de Shelah. En particular, esta última no tiene una sintaxis claramente definida, mientras que la nuestra tiene cierto tipo de sintaxis. Si queda tiempo menciono una conexión reciente con lógicas para clases no elementales.

Estos resultados son en colaboración con Jouko Väänänen y Boban Velickovic.


Grupos uno dimensionales definibles en los números p-ádicos

Juan Pablo Acosta (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 26 de Febrero de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Se da una lista de todos los grupos de dimensión uno definibles en los números p-ádicos, excepto por tomar subgrupos de índice finito y cocientes por subgrupos finitos.


Coordinatización en teorías dependientes de rango finito.

Alf Onshuus (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 19 de Febrero de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Uno de los teoremas más importantes en los inicios de la Teoría de Modelos es el de Cherlin-Harrington-Lachlan, donde se logró una coordinatización para estructuras omega-categóricas y omega-estables de rango de Morley finito. Este fue el inicio de la teoría de clasificación de modelos omega-categóricos de rango de Morley finito que culminaría con el trabajo de Cherlin y Hrushovski.

En esta charla hablaremos de por qué la coordinatización es importante para teoremas de clasificación, como muchos de los avances en teoría de modelos se han logrado pensando en clasificar estructuras que satisfacen condiciones fijas, y hablaremos de la demostración de coordinatización para estructuras dependientes de thorn-rango finito.

Variantes de unimodularidad.

Darío García (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 12 de Febrero de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (AU-301)

Resumen:

El concepto de unimodularidad fue definido por Hrushovski, el cual demostró que toda estructura fuertemente minimal unimodular es localmente modular. Este resultado generaliza el resultado previo de Zilber de que una estructura localmente finita y fuertmente minimal es localmente modular. En el mismo trabajo se decía que unimodularidad era equivalente a una noción en principio más débil, que fue conocida luego como unimodularidad funcional. En un intento por clarificar la situación, Pillay y Kestner distinguieron dos tipos de unimodularidad funcional: una para conjuntos definibles y una para conjuntos tipo-definibles, y estudiaron su relación en el contexto de estructuras fuertemente minimales.

En esta charla presentaré un trabajo conjunto con F. Wagner donde introducimos una nueva variante llamada "unimodularidad en correspondencias" (para tipos y para conjuntos definibles), en el cual se dan varios resultados que describen la relación entre estos diferentes conceptos. Por ejemplo, se logra mostrar que que las variantes de unimodularidad para tipos coinciden para teorías omega-estables, y todas las variantes coinciden en teorías fuertemente minimales, e incluso para grupos de rango de Morley finito.

SEMINARIOS 2018

Los grupos de Lie solubles y definibles son lineales (definiblemente)!

Sacha Post (Universidad de los Andes)

Fecha: Lunes 19 de Noviembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Sabemos desde los años 90 que los grupos definibles en expansiones o-minimales de los reales son grupos de Lie. Es natural preguntarse cuales grupos de Lie son isomorfos a grupos definibles. Trataremos de dar un panorama general de lo que se sabe sobre grupos o-minimales poniendo de relieve las semejanzas con grupos de Lie y con grupos algebraicos/grupos de rango de Morley finito. Si el tiempo permite daremos las principales ideas para probar el teorema enunciado en en el título.

Reflejando la condición de cadena contable en espacios topológicos.

Ramiro de la Vega (Universidad de los Andes)

Fecha: Lunes 29 de Octubre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Decimos que un espacio topológico (X,τ) satisface la condición de cadena contable (o que el espacio es ccc) si para cualquier familia no enumerable F ⊆ τ existen U, V ∈ F tales que U ∩ V ≠ ∅. Estamos interesados en la siguiente

Pregunta. ¿Si un espacio topológico es ccc y no enumerable entonces contiene un subespacio ccc de cardinalidad $\aleph_1$?

En [BT] se afirma que la respuesta es afirmativa "by a standard easy Löwenheim- Skolem argument" y también en [KT] encontramos "all the other familiar properties equivalent to second countability in the class of metrizable spaces do “reflect” down to $\aleph_1$". Sin embargo, como veremos en esta charla, esto no es cierto aún si nos restringimos a la clase de espacios de Tychonoff. También presentaremos algunos resultados positivos.

Referencias:

[BT] J.E. Baumgartner, F.D. Tall, Reflecting Lindelöfness, Topology Appl. 122 (2002) 35-49.

[KT] P. Koszmider, F.D. Tall, A Lindel ̈of space with no Lindelöf subspace of size א1, Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002) 2777-2787.

Logica 2018-2.pdf

Linearisation in model theory

Adrien Deloro

(Institute de Mathématiques de Jussieu - Université Pierre et Marie Curie)

Fecha: Lunes 22 de Octubre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

[joint work with Frank Wagner]

Model theory deals with algebraic structures in its own way, but the presence of a field is always a good thing. Typically fields come from the very basic Schur lemma in representation theory; of course in model theory one wants definable versions.

The most famous result in this vein is Zilber's classical observation that definable fields emerge in many abstract groups of finite Morley rank. But it is not the only such result, nor is finite Morley rank the only model-theoretic framework.

As a matter of fact the legitimate success of Zilber's "Field Theorem" tends to hide the general phenomenon underlying this special case. We try to provide the ultimate version of linearisation theorems, in a single statement generalising and clarifying every Schur-Zilber result known so far; also extending them to the natural context of ``finite-dimensional theories'' (which will be discussed).

Productos cadena generalizados de MTL-cadenas finitas.

William Zuluaga (Universidad Nacional de Córdoba - CONACET Argentina)

Fecha: Lunes 8 de Octubre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

En esta charla se presentará una aproximación distinta a las sumas ordinales a través de extensiones de cadenas finitas en la categoría de semihoops, obteniendo como resultado una prueba elemental de descomposición de MTL-cadenas finitas como suma ordinal de MTL-cadenas arquimedianas. Finalmente, se introducirán los Productos cadena generalizados de MTL-cadenas y se mostrará que las sumas ordinales de MTL-cadenas son un caso particular de estos.

Grupos definibles en expansiones densas y codensas de estructuras geométricas.

Alexander Berenstein - Universidad de los Andes


Fecha: Lunes 24 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)


Resumen.

En esta charla damos una introducción a las estructuras geométricas y algunas de sus expansiones. El objetivo de esta charla es entender como se expresan los conjuntos definibles de la expansión en términos de conjuntos definibles en el vocabulario inicial y con eso entender la relación entre los grupos definibles en los dos vocabularios.

Continuidad uniforme en grupos definibles.

Luis Carlos Suárez (Universidad de los Andes)

Fecha: Lunes 17 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Se sabe que para un grupo topológico G, amenabilidad (existencia de un promedio sobre las funciones uniformemente continuas por derecha) es equivalente a la existencia de puntos fijos de acciones continuas y afines del grupo sobre un conjunto compacto y convexo de un espacio vectorial localmente convexo L y a la existencia de medidas de Borel regulares G-invariantes en espacios compactos de Hausdorff.

La idea de la charla será mostrar una caracterización análoga para grupos definibles. Para este fin, primero hablaremos brevemente de los espacios σ-topológicos, su relación con las estructuras de primer orden y algunas de sus propiedades. Luego, pasaremos a dar las herramientas necesarias para probar las equivalencias que nos interesan.


Forzamiento en haces vs. Forzamiento conjuntista

Xavier Caicedo - Universidad de los Andes

Fecha: Lunes 10 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Introducimos el universo cumulativo de haces en un topos de Grothendieck, y en el caso particular del topos de prehaces sobre un conjunto parcialmente ordenado P explicamos la relación entre la semántica de Kripke-Joyal en dicho universo y el forzamiento conjuntista clásico con conjunto de condiciones P, desde la perspectiva de los modelos genéricos. Si el tiempo lo permite diremos algo sobre la conexión booleana.


Una introducción a los modelos booleanos

Carlos Di Prisco - Universidad de los Andes

Fecha: Lunes 3 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Presentaremos la construcción de modelos de la teoría de conjuntos a valores en un álgebra de Boole completa. Explicaremos su uso para obtener resultados de consistencia e independencia y su relación con la técnica de forzamiento. También mencionaremos la construcción análogo para valores en un álgebra de Heyting, teniendo como objetivo ulterior analizar la relación entre modelos booleanos y la lógica de haces y el forzamiento al modo del artículo de Xavier Caicedo [1].

Referencias

[1] Caicedo, Xavier. Lógica de los haces de estructuras. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias, 19 (74) (1995) 569-586.


La complejidad de conjuntos definibles en expansiones de la aritmética de Presburger

John Goodrick - Universidad de los Andes

Fecha: Lunes 27 de Agosto de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

La aritmética clásica de Presburger es la teoría completa de la estructura (Z, +, <). En esta charla vamos a considerar una expansión de la aritmética de Presburger, la cual llamamos "la teoría paramétrica de Presburger": es la teoría (en dos suertes) de (Z, +, <) como un Z-módulo ordenado. Más precisamente, hay una suerte de variables (la suerte principal) para elementos del grupo ordenado Z, y otra suerte (los "parámetros") que es otra copia de Z, y en las fórmulas se puede multiplicar por elementos de la suerte de parámetros, pero no se puede multiplicar dos variables de la suerte principal.

Estudiaremos la complejidad de familias definibles en la teoría paramétrica de Presburger. Demostraremos que hay familias de conjuntos S_t definibles en esta teoría, con t una tupla de elementos de la suerte de parámetros y S_t en la suerte principal, tales que la cardinalidad |S_t| no se puede calcular en tiempo polinomio, a menos que P = NP. La fórmula para definir S_t no es muy complicado: es Sigma_2, con cuantificadores solamente sobre la suerte principal (sin cuantificador sobre la suerte de parámetros).

Este es trabajo junto con Tristram Bogart y Danny Nguyen.

Próximas sesiones

Noviembre 19 - Sacha Post (Universidad de los Andes)

Noviembre 26 - Julián Cano (Universidad Nacional de Colombia)

Coideales semiselectivos y teoría local de Ramsey.

Julián Camilo Cano Ramos - Universidad Nacional de Colombia

Fecha: Lunes 26 de Noviembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)


Resumen:

La Teoría Local de Ramsey, desarrollada principalmente por A. Mathias en 1977 (véase [3]), por I. Farah en 1998 (véase [1]) y por S. Todorcevic en 2010 (véase [4]), tiene como objetivo estudiar las propiedades combinatorias que poseen dos tipos de familias de subconjuntos infinitos de números naturales, a saber, los coideales selectivos (también conocidos como "Happy Families") y los coideales semiselectivos, cuyas aplicaciones e interacciones con la Teoría de Ramsey permiten desarrollar una versión localizada del espacio de Ellentuck, donde la homogeneidad de las coloraciones borelianas de [N]^ω es restringida y localizada en una familia prefijada de subconjuntos infinitos de números naturales.

Por lo tanto, el objetivo de esta charla consiste en presentar una breve introducción a la Teoría Local de Ramsey y su correlación con la Teoría 'clásica' de Ramsey, además de exponer y analizar algunos resultados relevantes en este contexto, tales como la noción local de forcing combinatorio, el Teorema Semiselectivo de Galvin-NashWilliams, el Teorema Semiselectivo de Galvin-Prikry y el Teorema Local de Ellentuck.


Bibliografía:

[1] Farah, I. (1998). "Semiselective Coideals". Mathematika. Vol. 45, No 1, pp. 79-103.

[2] Halbeisen, L. (2012). "Combinatorial Set Theory". London: Springer-Verlag.

[3] Mathias, A.R.D. (1977). "Happy Families". Annals of Mathematical Logic. Vol. 12, No 1, pp. 59-111.

[4] Todorcevic, S. (2010). "Introduction to Ramsey Spaces". New Jersey: Princeton University Press.

[5] Todorcevic, S. (1997). "Topics in Topology". Berlin: Springer-Verlag.