Seminario de Lógica

Universidad de los Andes

SEMINARIOS 2020-20

Una generalización de los cuerpos PAC, PRC y Ppc.

Samaria Montenegro - Universidad de Costa Rica.

Lugar: Universidad de los Andes. (TX-602)

Fecha: Viernes 14 de Febrero de 2020.

Hora: 16.00-17.00

Resumen: (Trabajo conjunto con Silvain Rideau-Kikuchi)

Los cuerpos PRC y PpC son una generalización de los cuerpos PAC en donde es posible tener órdenes o valuaciones p-ádicas compatibles con la estructura de cuerpo. En esta charla definiremos una nueva clase de cuerpos que llamaremos PTC, esta clase contiene a los cuerpos PAC con una valuación, y a los cuerpos PRC y PpC.

La idea de la charla es presentar algunas propiedades modelo teóricas de estos cuerpos, en particular propiedades topológicas de los conjuntos definibles, así como algunas conjeturas que aún están abiertas.

Locally Roelcke precompact groups and continuous logic.

Andreas Hallback - Université Paris-Diderot - Paris 7

Lugar: Universidad de los Andes. (TX-602)

Fecha: Viernes 14 de Febrero de 2020.

Hora: 16.00-17.00

Resumen: The topic of this talk lies at the intersection of continuous logic and Polish group theory. Inspired by a result of Ben-Yaacov, Rosendal and Tsankov, characterising the Roelcke precompact Polish groups as automorphism groups of separably categorical metric structures, we give a characterisation of the Roelcke precompact Polish groups using type spaces of continuous model theory. If time permits, we will see how this result applies to the Urysohn universal metric space.

Clases asintóticas ordenadas de estructuras finitas.

Darío García - Universidad de los Andes.

Lugar: Universidad de los Andes. (TX-602)

Fecha: Viernes 07 de Febrero de 2020.

Hora: 16.00-17.00

Resumen:

D. Macpherson y C. Steinhorn desarrollaron la noción de clases 1-dimensionales asintóticas, que son clases de estructuras finitas con nociones de medida y dimensión que provienen del análisis de cardinalidades de conjuntos definibles. El ejemplo más conocido, gracias a un profundo resultado de Chatzidakis, van den Dries y Macintyre, es la clase de campos finitos.

En este charla revisaremos las principales definiciones y resultados de clases 1-dimensionales asintóticas y presentaré el concepto de clases asintóticas de estructuras ordenadas, que se propone como una adaptación de las clases 1-dimensionales al contexto de estructuras finitas linealmente ordenadas. También discutiremos algunas propiedades de ultraproductos de clases asintóticas y clases asintóticas ordenadas, mostrando que estos últimos son superrosy de U-thorn-rango 1 y inp-minimales.

SEMINARIOS 2019-20

Notions of difference closures of difference fields

Zoé Chatzidakis - École Normale Supériure, Paris.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-212)

Fecha: Lunes 18 de Noviembre

Hora: 14.00-15.00

Resumen:

It is well known that a differential field K of characteristic 0 is contained in a differential field which is differentially closed and has the property that it K-embeds in every differentially closed field containing K. Such a field is called a differential closure of K, and it is unique up to K-isomorphism. In other words, prime models exist and are unique. The proof uses the fact that the theory of differentially closed fields of characteristic 0 is totally transcendental.

One can ask the same question about difference fields: do they have a difference closure, and is it unique? The immediate answer to both these questions is no, for trivial reasons: in most cases, there are continuum many ways of extending an automorphism of a field to its algebraic closure. Therefore a natural requirement is to impose that the field K be algebraically closed. Similarly, if the subfield of K fixed by the automorphism is not pseudo-finite, then there are continuum many ways of extending it to a pseudo-finite field, so one needs to add the hypothesis that the fixed subfield of K is pseudo-finite.In this talk I will show by an example that even these two conditions do not suffice.

There are two (and more) natural strengthenings of the notion of difference closure, and we show that in characteristic 0, these notions do admit unique prime models over any algebraically closed difference field K, provided the subfield of K fixed by the automorphism is large enough. In model-theoretic terms, this corresponds to the existence and uniqueness of a-prime or kappa-prime models. I will also discuss the necessity of the conditions on the fixed field (under GCH).

Grafos Estables y Pseudofinitud en árboles contables.

Darío García - Universidad de los Andes

Lugar: Universidad de los Andes. (C-212)

Fecha: Lunes 28 de Octubre

Hora: 14.00-15.00

Resumen: Hablaremos sobre algunos ejemplos de grafos estables que son pseudofinitos, y de algunos problemas abiertos en este área.

Extensiones compactas de la lógica continua y propiedades de partición

Raúl Figueroa - Universidad de los Andes

Lugar: Universidad de los Andes. (C-212)

Fecha: Lunes 21 de Octubre

Hora: 14.00-15.00

Resumen: (ver archivo)

ResumenOctubre21.pdf

Periodicidad de algunos invariantes de semigrupos numéricos a través de la aritmética parametrizada de Presburger

John Goodrick - Universidad de los Andes

Lugar: Universidad de los Andes. (C-212)

Fecha: Lunes 07 de Octubre

Hora: 14.00-15.00

Resumen:

Un semigrupo numérico es un subsemigrupo S de N tal que el complemento de S en N es finito. Los matemáticos que investigan semigrupos numéricos han definido varios invariantes para estudiarlos, como el número de Frobenius F(S) (el máximo entero que no está en S), el genus g(S) (el número de elementos en el complemento de S), los números de Betti y muchos más.

Sea S_n el subsemigrupo de N generado por $f_1(n), ..., f_k(n)$ donde los f_i son polinomios y se deja el parámetro n tomar cualquier valor en N. Demostraremos que muchos de los invariantes de S_n (como F(S_n), g(S_n), los números de Betti, y otros) son eventualmente quasi-polinomios en n: es decir, hay un m fijo tal que en cada clase de congruencia de m, estos invariantes tienen fórmulas polinómicas (para n lo suficientemente grande).

Este es trabajo junto con Tristram Bogart y Kevin Woods.

Grupos de Lie y definibilidad: el caso lineal.

Sacha Post - Universidad de los Andes

Lugar: Universidad de los Andes. (C-212)

Fecha: Lunes 09 de Septiembre

Hora: 14.00-15.00

Resumen: En este charla nos interesaremos en las conexiones entre grupos de Lie lineales y grupos definibles en expansiones o-minimales de los reales. Daremos criterios algebraicotopologicos que determinan cuando esas dos categorías "coinciden".

H-estructuras

Alexander Berenstein - Universidad de los Andes

Lugar: Universidad de los Andes. (C-212)

Fecha: Lunes 02 de Septiembre

Hora: 14.00-15.00

Resumen: En esta charla introducimos la noción de estructuras geométricas y una de sus expansiones: las H estructuras. Nos centraremos especialmente en el caso en el cual la estructura subyacente es simple de SU rango 1. Describimos el rango en la expansión, los grupos definibles y su relación con estructuras pseudofinitas. Los resultados vienen de trabajos independientes y también en conjunto con Zou, García y Vassiliev.

¿Es necesario el diamante de Akemann y Weaver?

Daniel Calderón - York University

Lugar: Universidad de los Andes. (C-212)

Fecha: Lunes 26 de Agosto

Hora: 14.00-15.00

Resumen: (ver archivo)

Abstract (Agosto 27).pdf

SEMINARIOS 2019-10

On Classification of NIP structures

Pierre Simon (University of California - Berkeley)

Fecha: Viernes 31 de Mayo de 2019.

Hora: 14.00-15.30.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-105)

Pseudofinite difference fields and counting dimensions

Tingxiang Zou (Institut Camille Jordan - Lyon)

Fecha: Martes 07 de Mayo de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Abstract:

This talk will be about the model theory of certain ultraproducts of finite fields with Frobenius. We will show that when the field grows quickly enough compared to the automorphism, the definable sets will establish some nice behaviors. Namely, the coarse pseudofinite dimension of definable sets with respect to the size of the full field will be integer-valued and definable. We will also make a partial connection between the coarse dimension and an algebraic notion in difference algebra, that is the transformal transcendence degree.

Expansions of the group of the integers

Christian d'Elbée (Institut Camille Jordan - Lyon / École Normale Supérieure - Paris)

Fecha: Martes 30 de Abril de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Abstract:

Tame expansions of the group of integers is a recent field of study. An expansion N of a structure M is called minimal if there is no structure K which is a proper reduct of N and a proper expansion of M. Conant proved that $(Z,+,0,<)$ is a minimal expansion of $(Z,+,0)$. Together with E. Alouf, we proved that the expansion of $(Z,+,0)$ by a single $p$-adic valuations is also minimal. We will also advertise some minimality/maximality flavoured results that appear in the classification of expansions of $(Z,+,0)$.

Reflexiones modelo-teóricas de la correspondencia de Galois y la dualidad de Stone

Johan Felipe García (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 23 de Abril de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

La dualidad de Stone y la correspondencia de Galois, además de ser dos teoremas cumbre de la matemática moderna, son dos principios interrelacionados que han motivado y guiado parte importante de las matemáticas contemporáneas.

Esta charla tiene dos objetivos recíprocos que se desarrollarán simultáneamente: El primero es mostrar algunos reflejos de dichos principios en la teoría de modelos. Particularmente, presentaremos los espacios de tipos, el teorema de Beth, la clausura algebraica, los cubrimientos internos y otras instancias de la dualidad entre semántica y sintaxis.

El segundo objetivo es proyectar el conocimiento modelo teórico de estos principios a otras ramas de las matemáticas. Específicamente, analizaremos los cubrimientos finitos de espacios, las acciones de grupo, las representaciones de álgebras de Hopf y algunas generalizaciones categóricas.

Model Theory of Difference Fields

Mariana Vicaría (University of California - Berkeley)

Fecha: Martes 09 de Abril de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Abstract:

Chatzidakis and Hrushosvki had formalized several notions of the model theoretic properties of difference fields. A difference field is a field $K$ equipped with an automorphism $\sigma$, which is added to the language. The model companion of the theory of difference fields is known as ACFA, and it is fairly easy to understand the possible completions by understanding how does the automorphism act over the algebraic closure of the prime field. Moreover, one can classify completely the types of any tuple $\bar{a}$ over some difference field $E$ by understanding the action of $\sigma$ over the algebraic closure of the smallest difference field containing $E$ and $a$.

It is also well known that any completion of ACFA is a simple theory of SU-rank $\omega$, it has elimination of imaginaries but does not have elimination of quantifiers in $\mathcal{L}_{ring} \cup \{ \sigma\}$.

Moreover, the fix field $F= \{ x \in K \ | \ \sigma(x)=x\}$ is a pseudofinite field and it is stably embedded in $K$.

I will survey the main tools in order to understand from a model theoretic point of view the models of ACFA, and if the time is sufficient I will show up proofs of the statements mentioned above.

References:

http://www.ams.org/journals/tran/1999-351-08/S0002-9947-99-02498-8/S0002-9947-99-02498-8.pdf


First order Theories of Presburger Arithmetic with an Automorphism

Alfred Dolich (Kingsborough Community College - CUNY)

Fecha: Martes 02 de Abril de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Abstract:

In this talk I will consider augmenting Presburger Arithmetic with an Automorphism. The goal is to understand the existence or non-existence of well-behaved automorphisms, f, of a model of Presburger Arithmetic M. Here the criterion for well-behaved is that the theory (M,f) is model theoretically tame. Generally we can attempt to construct a well-behaved automorphism in one of two ways. The first of these is to construct f so that it is extremely rigid and hence highly predictable. In this direction I will discuss work of my student Simon Heller in constructing and analyzing such automorphisms. The second way is to construct f to be as "random" as possible. Here I will discuss the non-existence, under a particular notion of "random", of such automorphisms.

Funciones dóciles en grupos abelianos ordenados dp-minimales y de rango finito

John Goodrick (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 19 de Marzo de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Considere un grupo abeliano G con un orden denso, posiblemente con estructura definible adicional. ¿Cuándo son todas las funciones definibles en G “dóciles” con respecto a la topología del orden? El caso más estudiado es cuando G es o-minimal: aquí las funciones unarias definibles son continuas y monótonas menos en finitos puntos. Vamos a discutir cómo se puede (y como no se puede) generalizar esto al contexto donde G dp-minimal, o G tiene dp-rango finito.

Tame Expansion of Presburger Arithmetic -- First Steps

Alfred Dolich (Kingsborough Community College - CUNY)


Fecha: Martes 12 de Marzo de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Abstract:

The general study of "tame" expansions of the real field or real group is by now a well established subject. Beginning with the introduction of o-minimality in the 1980's various notions of tameness generalizing o-minimality have been proposed and studied, for example d-minimality or o-minimal open core. In general such tameness notions are often roughly defined by saying that any definable subset of the line is either "very large" or "very small". In this talk I will talk about some preliminary work, joint with Chris Miller, on attempting to develop a theory of "tame" expansions of Presburger arithmetic. I will focus initially on on what an appropriate very large/very small dichotomy should be in this context and then discuss some general results on how to obtain such expansions.

Acerca de la lógica L^1_\kappa de Shelah.

Andrés Villaveces (Universidad Nacional)

Fecha: Martes 5 de Marzo de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Hace unos años Shelah definió una nueva lógica infinitaria llamada L-uno-kappa. Damos una formulación alternativa de esta lógica y demostramos que es equivalente a la original; nuestra formulación tiene algunas ventajas al compararse con la versión de Shelah. En particular, esta última no tiene una sintaxis claramente definida, mientras que la nuestra tiene cierto tipo de sintaxis. Si queda tiempo menciono una conexión reciente con lógicas para clases no elementales.

Estos resultados son en colaboración con Jouko Väänänen y Boban Velickovic.


Grupos uno dimensionales definibles en los números p-ádicos

Juan Pablo Acosta (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 26 de Febrero de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Se da una lista de todos los grupos de dimensión uno definibles en los números p-ádicos, excepto por tomar subgrupos de índice finito y cocientes por subgrupos finitos.


Coordinatización en teorías dependientes de rango finito.

Alf Onshuus (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 19 de Febrero de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (C-108)

Resumen:

Uno de los teoremas más importantes en los inicios de la Teoría de Modelos es el de Cherlin-Harrington-Lachlan, donde se logró una coordinatización para estructuras omega-categóricas y omega-estables de rango de Morley finito. Este fue el inicio de la teoría de clasificación de modelos omega-categóricos de rango de Morley finito que culminaría con el trabajo de Cherlin y Hrushovski.

En esta charla hablaremos de por qué la coordinatización es importante para teoremas de clasificación, como muchos de los avances en teoría de modelos se han logrado pensando en clasificar estructuras que satisfacen condiciones fijas, y hablaremos de la demostración de coordinatización para estructuras dependientes de thorn-rango finito.

Variantes de unimodularidad.

Darío García (Universidad de los Andes)

Fecha: Martes 12 de Febrero de 2019

Hora: 10.00-11.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (AU-301)

Resumen:

El concepto de unimodularidad fue definido por Hrushovski, el cual demostró que toda estructura fuertemente minimal unimodular es localmente modular. Este resultado generaliza el resultado previo de Zilber de que una estructura localmente finita y fuertmente minimal es localmente modular. En el mismo trabajo se decía que unimodularidad era equivalente a una noción en principio más débil, que fue conocida luego como unimodularidad funcional. En un intento por clarificar la situación, Pillay y Kestner distinguieron dos tipos de unimodularidad funcional: una para conjuntos definibles y una para conjuntos tipo-definibles, y estudiaron su relación en el contexto de estructuras fuertemente minimales.

En esta charla presentaré un trabajo conjunto con F. Wagner donde introducimos una nueva variante llamada "unimodularidad en correspondencias" (para tipos y para conjuntos definibles), en el cual se dan varios resultados que describen la relación entre estos diferentes conceptos. Por ejemplo, se logra mostrar que que las variantes de unimodularidad para tipos coinciden para teorías omega-estables, y todas las variantes coinciden en teorías fuertemente minimales, e incluso para grupos de rango de Morley finito.

SEMINARIOS 2018

Los grupos de Lie solubles y definibles son lineales (definiblemente)!

Sacha Post (Universidad de los Andes)

Fecha: Lunes 19 de Noviembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Sabemos desde los años 90 que los grupos definibles en expansiones o-minimales de los reales son grupos de Lie. Es natural preguntarse cuales grupos de Lie son isomorfos a grupos definibles. Trataremos de dar un panorama general de lo que se sabe sobre grupos o-minimales poniendo de relieve las semejanzas con grupos de Lie y con grupos algebraicos/grupos de rango de Morley finito. Si el tiempo permite daremos las principales ideas para probar el teorema enunciado en en el título.

Reflejando la condición de cadena contable en espacios topológicos.

Ramiro de la Vega (Universidad de los Andes)

Fecha: Lunes 29 de Octubre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Decimos que un espacio topológico (X,τ) satisface la condición de cadena contable (o que el espacio es ccc) si para cualquier familia no enumerable F ⊆ τ existen U, V ∈ F tales que U ∩ V ≠ ∅. Estamos interesados en la siguiente

Pregunta. ¿Si un espacio topológico es ccc y no enumerable entonces contiene un subespacio ccc de cardinalidad $\aleph_1$?

En [BT] se afirma que la respuesta es afirmativa "by a standard easy Löwenheim- Skolem argument" y también en [KT] encontramos "all the other familiar properties equivalent to second countability in the class of metrizable spaces do “reflect” down to $\aleph_1$". Sin embargo, como veremos en esta charla, esto no es cierto aún si nos restringimos a la clase de espacios de Tychonoff. También presentaremos algunos resultados positivos.

Referencias:

[BT] J.E. Baumgartner, F.D. Tall, Reflecting Lindelöfness, Topology Appl. 122 (2002) 35-49.

[KT] P. Koszmider, F.D. Tall, A Lindel ̈of space with no Lindelöf subspace of size א1, Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002) 2777-2787.

Logica 2018-2.pdf

Linearisation in model theory

Adrien Deloro

(Institute de Mathématiques de Jussieu - Université Pierre et Marie Curie)

Fecha: Lunes 22 de Octubre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

[joint work with Frank Wagner]

Model theory deals with algebraic structures in its own way, but the presence of a field is always a good thing. Typically fields come from the very basic Schur lemma in representation theory; of course in model theory one wants definable versions.

The most famous result in this vein is Zilber's classical observation that definable fields emerge in many abstract groups of finite Morley rank. But it is not the only such result, nor is finite Morley rank the only model-theoretic framework.

As a matter of fact the legitimate success of Zilber's "Field Theorem" tends to hide the general phenomenon underlying this special case. We try to provide the ultimate version of linearisation theorems, in a single statement generalising and clarifying every Schur-Zilber result known so far; also extending them to the natural context of ``finite-dimensional theories'' (which will be discussed).

Productos cadena generalizados de MTL-cadenas finitas.

William Zuluaga (Universidad Nacional de Córdoba - CONACET Argentina)

Fecha: Lunes 8 de Octubre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

En esta charla se presentará una aproximación distinta a las sumas ordinales a través de extensiones de cadenas finitas en la categoría de semihoops, obteniendo como resultado una prueba elemental de descomposición de MTL-cadenas finitas como suma ordinal de MTL-cadenas arquimedianas. Finalmente, se introducirán los Productos cadena generalizados de MTL-cadenas y se mostrará que las sumas ordinales de MTL-cadenas son un caso particular de estos.

Grupos definibles en expansiones densas y codensas de estructuras geométricas.

Alexander Berenstein - Universidad de los Andes


Fecha: Lunes 24 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)


Resumen.

En esta charla damos una introducción a las estructuras geométricas y algunas de sus expansiones. El objetivo de esta charla es entender como se expresan los conjuntos definibles de la expansión en términos de conjuntos definibles en el vocabulario inicial y con eso entender la relación entre los grupos definibles en los dos vocabularios.

Continuidad uniforme en grupos definibles.

Luis Carlos Suárez (Universidad de los Andes)

Fecha: Lunes 17 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Se sabe que para un grupo topológico G, amenabilidad (existencia de un promedio sobre las funciones uniformemente continuas por derecha) es equivalente a la existencia de puntos fijos de acciones continuas y afines del grupo sobre un conjunto compacto y convexo de un espacio vectorial localmente convexo L y a la existencia de medidas de Borel regulares G-invariantes en espacios compactos de Hausdorff.

La idea de la charla será mostrar una caracterización análoga para grupos definibles. Para este fin, primero hablaremos brevemente de los espacios σ-topológicos, su relación con las estructuras de primer orden y algunas de sus propiedades. Luego, pasaremos a dar las herramientas necesarias para probar las equivalencias que nos interesan.


Forzamiento en haces vs. Forzamiento conjuntista

Xavier Caicedo - Universidad de los Andes

Fecha: Lunes 10 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Introducimos el universo cumulativo de haces en un topos de Grothendieck, y en el caso particular del topos de prehaces sobre un conjunto parcialmente ordenado P explicamos la relación entre la semántica de Kripke-Joyal en dicho universo y el forzamiento conjuntista clásico con conjunto de condiciones P, desde la perspectiva de los modelos genéricos. Si el tiempo lo permite diremos algo sobre la conexión booleana.


Una introducción a los modelos booleanos

Carlos Di Prisco - Universidad de los Andes

Fecha: Lunes 3 de Septiembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

Presentaremos la construcción de modelos de la teoría de conjuntos a valores en un álgebra de Boole completa. Explicaremos su uso para obtener resultados de consistencia e independencia y su relación con la técnica de forzamiento. También mencionaremos la construcción análogo para valores en un álgebra de Heyting, teniendo como objetivo ulterior analizar la relación entre modelos booleanos y la lógica de haces y el forzamiento al modo del artículo de Xavier Caicedo [1].

Referencias

[1] Caicedo, Xavier. Lógica de los haces de estructuras. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias, 19 (74) (1995) 569-586.


La complejidad de conjuntos definibles en expansiones de la aritmética de Presburger

John Goodrick - Universidad de los Andes

Fecha: Lunes 27 de Agosto de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Resumen:

La aritmética clásica de Presburger es la teoría completa de la estructura (Z, +, <). En esta charla vamos a considerar una expansión de la aritmética de Presburger, la cual llamamos "la teoría paramétrica de Presburger": es la teoría (en dos suertes) de (Z, +, <) como un Z-módulo ordenado. Más precisamente, hay una suerte de variables (la suerte principal) para elementos del grupo ordenado Z, y otra suerte (los "parámetros") que es otra copia de Z, y en las fórmulas se puede multiplicar por elementos de la suerte de parámetros, pero no se puede multiplicar dos variables de la suerte principal.

Estudiaremos la complejidad de familias definibles en la teoría paramétrica de Presburger. Demostraremos que hay familias de conjuntos S_t definibles en esta teoría, con t una tupla de elementos de la suerte de parámetros y S_t en la suerte principal, tales que la cardinalidad |S_t| no se puede calcular en tiempo polinomio, a menos que P = NP. La fórmula para definir S_t no es muy complicado: es Sigma_2, con cuantificadores solamente sobre la suerte principal (sin cuantificador sobre la suerte de parámetros).

Este es trabajo junto con Tristram Bogart y Danny Nguyen.

Próximas sesiones

Noviembre 19 - Sacha Post (Universidad de los Andes)

Noviembre 26 - Julián Cano (Universidad Nacional de Colombia)

Coideales semiselectivos y teoría local de Ramsey.

Julián Camilo Cano Ramos - Universidad Nacional de Colombia

Fecha: Lunes 26 de Noviembre de 2018

Hora: 15.00-16.00.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)


Resumen:

La Teoría Local de Ramsey, desarrollada principalmente por A. Mathias en 1977 (véase [3]), por I. Farah en 1998 (véase [1]) y por S. Todorcevic en 2010 (véase [4]), tiene como objetivo estudiar las propiedades combinatorias que poseen dos tipos de familias de subconjuntos infinitos de números naturales, a saber, los coideales selectivos (también conocidos como "Happy Families") y los coideales semiselectivos, cuyas aplicaciones e interacciones con la Teoría de Ramsey permiten desarrollar una versión localizada del espacio de Ellentuck, donde la homogeneidad de las coloraciones borelianas de [N]^ω es restringida y localizada en una familia prefijada de subconjuntos infinitos de números naturales.

Por lo tanto, el objetivo de esta charla consiste en presentar una breve introducción a la Teoría Local de Ramsey y su correlación con la Teoría 'clásica' de Ramsey, además de exponer y analizar algunos resultados relevantes en este contexto, tales como la noción local de forcing combinatorio, el Teorema Semiselectivo de Galvin-NashWilliams, el Teorema Semiselectivo de Galvin-Prikry y el Teorema Local de Ellentuck.


Bibliografía:

[1] Farah, I. (1998). "Semiselective Coideals". Mathematika. Vol. 45, No 1, pp. 79-103.

[2] Halbeisen, L. (2012). "Combinatorial Set Theory". London: Springer-Verlag.

[3] Mathias, A.R.D. (1977). "Happy Families". Annals of Mathematical Logic. Vol. 12, No 1, pp. 59-111.

[4] Todorcevic, S. (2010). "Introduction to Ramsey Spaces". New Jersey: Princeton University Press.

[5] Todorcevic, S. (1997). "Topics in Topology". Berlin: Springer-Verlag.