Liste des exercices : (Rythme : une vidéo chaque mardi 11h, sauf imprévues, contraintes ou vacances...)
Algèbre général :
#20 : Montrer que toute fonction continue 1-périodique et pi-périodique est constante
#22 : Montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur Q est un sous-corps de C
#27 : Montrer que les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers
#28 : Démontrer que tout (quasi-)corps fini est commutatif (Théorème de Wedderburn)
#36 : Démontrer le lemme de Liouville, puis que tout nombre de Liouville est transcendant
#55 : Etudier les sous-groupes stricts d'un groupe infini particulier
#67 : Montrer que l'ensemble des entiers de Gauss est un anneau euclidien
#76 : La décomposition en produit d'irréductibles dans un anneau noethérien
#82 : Montrer une caractérisation de l'annulation du résultant
#88 : Résoudre P^n+Q^n+R^n=0 pour P,Q,R trois polynômes à coefficients complexes
#89 : Une CNS pour un polynôme d'induire une surjection de Q sur Q
Algèbre linéaire :
#11 : Démontrer que tout sous-groupe de GLn(C) d'exposant fini est fini
#24 : Montrer que la fonction exponentielle de An(R) vers SOn(R) est surjective.
#39 : Montrer que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans R (Théorème spectrale)
#44 : Etudier les classes de similitudes des matrices orthogonales
#46 : Montrer que toute matrice est semblable à sa transposée dans Mn(C)
#87 : Montrer qu'il existe un polynôme conducteur égal au polynôme minimale d'un endomorphisme
#92 : Une famille de vecteurs assez proches d'une base orthonormale
#93 : Le théorème de la projection (orthogonale) sur un convexe fermé
Analyse général:
#58 : Un exemple de fonction continue sur R dérivable nulle part
#59 : Démontrer un cas particulier de l'inégalité de Hilbert
#98 : Sur une caractérisation de la fonction Gamma d'Euler (Théorème de Bohr-Mollerup)
Arithmétique :
#16 : Démontrer que (p-1)! = -1 [p] si, et seulement si, p est premier (Théorème de Wilson)
#68 : Caractériser la décomposition en somme de deux carrés d'un nombre premier impair
#91 : Démontrer une identité arithmétique faisant intervenir l'énumération des facteurs premiers
#123 : La loi de réciprocité quadratique (via les sommes de Gauss)
Combinatoire :
Equations différentielles :
#6 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants
#74 : Résoudre un système d'équations différentielles linéaires
#86 : Etablir l'existence d'une solution non bornée à une équation différentielle
#97 : Solutions d'une équation différentielle développables en série entière
Fonctions à plusieurs variables :
Intégration :
#37 : Calculer une intégrale utilisant une combinaison de plusieurs techniques usuelles
#48 : Démontrer l'inégalité de Hölder, puis l'inégalité de Minkowski
#99 : Déterminer une expression explicite d'une intégrale à paramètre à valeurs complexes
Probabilités :
#29 : Démontrer le lemme de Borel-Cantelli et le théorème de la loi du zéro-un de Borel
#49 : Etudier la convergence (presque sûre) de la série aléatoire de Rademacher
#64 : Démontrer le théorème de Stone-Weierstrass (via de la probabilité)
Suites et Séries :
#13 : Etude de la nature de la série des (sin n)/n^a pour a réel
#114 : Cas de convergence normale d'un développement en série de Fourier
#116 : Une drôle de limite pour une drôle de série de fonctions
#119 : Un espace unidimensionnel de suites à récurrence linéaire d'ordre 2 sur Z
Topologie :
#5 : Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables dans les complexes est dense dans Mn(C)
#8 : Autour de la connexité par arcs de l'ensemble des matrices inversibles dans R et dans C
#60 : Montrer que la seule partie connexe dense de R^n est R^n
#77 : Montrer que l'adhérence et l'intérieur d'un ensemble convexe est convexe
#96 : Décrire l'enveloppe convexe des matrices de permutation (Théorème de Birkhoff - Von Neumann)
#104 : Sur la topologie de l'ensemble des matrices cycliques