Embedded Files
En esta sección hablaremos sobre las cónicas. Existen varios tipos de cónicas, los cuales son: elipse, parábola e hipérbola. Aquí aclararás todas tus dudas acerca de este tema y adquirirás nuevos conocimientos.
Parábola
Parábola
¿Qué es?
¿Qué es?
La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse en fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una fuente o el movimiento de un balón o pelota que es impulsado por un jugador de básquetbol
Elementos:
Elementos:
Foco (F): La distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz de la parábola.
Directriz (D): Un punto de la parábola tiene la misma distancia a la directriz que al foco de la parábola.
Parámetro (p): es la distancia desde el foco hasta la directriz.
Radio vector (R): Es el segmento que une un punto de la parábola con el foco. Su valor coincide con la distancia del punto hasta la directriz.
Eje (E): Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y es el eje de simetría de la parábola, en la gráfica de abajo corresponde al eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje focal.
Vértice (V): Es el punto de intersección entre la parábola y su eje.
Distancia focal: es la distancia entre el foco y el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su valor siempre es igual a p/2.
Lado recto: Es la cuerda comprendida dentro de la parábola que pasa por el foco y es paralela a la directriz.
Ecuaciones
Ecuaciones
Ecuación Canónica
Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0).
Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0).
Ecuación Ordinaria
Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es:
Donde el centro o vértice de la parábola es el punto V(X0, Y0).
La ecuación anterior corresponde a la parábola que está orientada de manera vertical. Para definir una parábola orientada de manera horizontal, debemos usar la siguiente variante de la ecuación ordinaria de la parábola:
Ecuación General:
Se trata de una parábola si, y solo si, los coeficientes A y C no son simultáneamente nulos
Ejemplo:
Ejemplo:
Hallar el vértice, el foco y la directriz de la siguiente parábola:
Primero hallamos p:
Su vértice es: V(0,0)
El foco de una parábola siempre está situado en el eje de la parábola, por lo que sus coordenadas son:
F(0,1)
la recta directriz será la recta horizontal que está a una distancia del vértice de la parábola, que es el origen de coordenadas:
y=-1
Su grafica seria:
La elipse
La elipse
¿Qué es?
¿Qué es?
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, denominados focos, es constante.
Elementos
Elementos
Focos, puntos fijos ubicados sobre el eje más largo de la elipse.
Vértices, son los dos puntos de la elipse por los que pasa la recta que une a los focos.
Eje mayor, es la cuerda que une a los vértices y que también contiene a los focos.
Centro, punto medio del eje mayor, que en la figura corresponde al punto de coordenadas (h,k). Cada foco se encuentra equidistante del centro y a una distancia c del mismo.
Eje menor, es la cuerda que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor.
Radios vectores, segmentos que unen a cada foco con un punto P de la elipse.
Eje focal, recta sobre la que se encuentran los focos.
Distancia focal, es la distancia entre los focos, denotada como 2c.
Eje secundario, eje perpendicular al eje mayor, que es a la vez mediatriz del segmento que une a los focos.
Centro de simetría, punto coincidente con el centro de la elipse, donde se cruzan los ejes de simetría de la misma.
Ejes de simetría, rectas que contienen a los ejes mayor y menor de la elipse
Elipse con el eje mayor horizontal:
Elipse con el eje mayor horizontal:
Sea el punto C de coordenadas (h,k) el centro de la elipse, la longitud del eje mayor es 2a y la longitud del eje menor igual a 2b, con a > b.
La ecuación de esta elipse es:
Elipse con el eje mayor vertical:
Elipse con el eje mayor vertical:
Con los mismos parámetros de la elipse con eje mayor horizontal, la elipse con eje mayor vertical se escribe como:
En ambos casos, la distancia del foco al centro c está relacionada con los semiejes mayor y menor mediante: C²= a²-b²
Ejemplo:
Ejemplo:
Elipse horizontal
Elipse horizontal
En la siguiente imagen se muestra una elipse cuyo eje mayor es horizontal. El centro está en el punto (0,0) y los focos en (-3,0) y (3,0) respectivamente. El punto P (0,-4) destacado pertenece a la elipse.
La ecuación de esta elipse es:
16x2 + 25y2 = 400
No es difícil expresar esta ecuación en la forma canónica, basta con dividir todos los términos entre 400 y simplificar convenientemente.
C²= a²-b²
C=√9
C = 3 es la distancia entre el centro y uno de los focos. Ambos focos distan entre sí una distancia 2c=6.
Elipse vertical
Elipse vertical
La siguiente es una elipse vertical, cuyo eje mayor coincide con el eje y. Está centrada en el punto (0,0) y su ecuación es:
36x2 + 9y2 = 324
La Hipérbola
La Hipérbola
¿Qué es?
¿Qué es?
La hipérbola es el conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, permanece constante.
Se muestra un punto P(x,y), los focos F1 y F2 separados una distancia igual a 2c. La forma matemática de expresar esta relación es a través de:
Focos: son dos puntos fijos característicos de cada hipérbola (puntos F y F’ en el gráfico de abajo). El valor absoluto de la diferencia entre las distancias de cualquier punto de la hipérbola a cada foco es constante e igual a
Eje focal o principal: es la recta que pasa por los dos focos de la hipérbola. Corresponde a un eje de simetría de dicha figura geométrica. También se llama eje transverso o transversal.
Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF’ (recta que pasa por los puntos B y B’). Además, es una recta perpendicular al eje focal y es otro eje de simetría de la hipérbola
Centro (O): es el punto de intersección de los dos ejes y el punto medio de los dos vértices y los dos focos. Como la hipérbola tiene dos ejes de simetría, también es el centro simétrico.
Vértices (A y A’): son los puntos donde se cortan las ramas de la hipérbola con el eje focal.
Radios vectores (R): son los segmentos que van desde cualquier punto de la hipérbola hasta cada foco.
Distancia focal: es la longitud del segmento compuesto entre los dos focos.
Eje mayor o real: es el segmento que va desde el punto A hasta el punto A’, su longitud es equivalente a
Eje menor o imaginario: es el segmento que va desde el punto B hasta el punto B’, su longitud es equivalente a
Asíntotas: son las rectas discontinuas representadas en la gráfica. Más abajo veremos cómo se calculan.
Ecuaciones:
Ecuaciones:
Ecuación ordinaria de la hipérbola
Ecuación ordinaria de la hipérbola
Cuando queremos definir mediante una ecuación una hipérbola con centro fuera del origen de coordenadas (punto (0,0)), debemos usar la siguiente fórmula:
Ecuación canónica o reducida de la hipérbola
Ecuación canónica o reducida de la hipérbola
Horizontal
Vertical
Ecuación general de la hipérbola
Ecuación general de la hipérbola
Ecuación de la hipérbola equilátera
Ecuación de la hipérbola equilátera
Hipérbolas conjugadas
Hipérbolas conjugadas
Asíntotas de la hipérbola
Asíntotas de la hipérbola
Excentricidad de la hipérbola
Excentricidad de la hipérbola
Debe ser mayor a 1
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de la siguiente hipérbola.
Primero hallamos la ecuación ordinaria:
Obtenemos el centro:
ya podemos encontrar los vértices, los focos y la excentricidad
Graficamos
Te recomiendo ver este video
En conclusión, las cónicas son un conjunto de curvas geométricas. Comprenden el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola, cada una con propiedades y características únicas. Estas curvas tienen aplicaciones extensas en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas, lo que las convierte en objetos de estudio importantes.
Page updated
Google Sites
Report abuse