M1：海田裕斗，小宮翔太朗，成田龍可，西島昂亮     B4：宮地杏佳

Chong Zheng（テイ） ・早稲田大学理工学研究科数学応用数理専攻・助手

João Vítor Pissolato（ジョアン）・理工学研究科リサーチフェロー（サンパウロ大学サンカルロス校博士課程）2023.9〜2024.8

Christian Munoz Cabello（クリスティアン）・理工学研究科リサーチフェロー（ヴァレンシア大学博士課程，スペイン）2024.5〜2024.7

不定期（外部関係学生・外部研究者／オンライン）：

Soeren Nekarda ハレ大学博士課程（ドイツ）

嘉陽海渡，田邊真郷，舘入数麿（北大博士課程）

中島直道・日本学術振興会特別研究員PD→芝浦工大・講師

北海道大学大学院情報科学専攻・情報理工学コース《応用特異点論研究室》

令和５年度修士論文（2024年2月）

嘉陽海渡

計量の退化を許容する統計多様体

Statistical manifold with degenerate metric

統計多様体とはコダッチ構造が入った可微分多様体のことである．リーマン計量が退化する点においては通常の微分幾何的手法は破綻するため，どのような接続に対しても双対接続は定義できない．そこでリーマン計量が退化する場合でも，連接接束のペアを用いることでコダッチ構造を一般化する．これをパラエルミート構造を持つベクトル束のラグランジュ部分束の微分幾何学（あるいはパラエルミート空間形式の部分多様体論）として定式化を試みる．（論文がInformation Geometryに出版：https://link.springer.com/article/10.1007/s41884-024-00131-6）．

山口航輝

特異点解消を用いたベイス統計における事後分布の解析的評価

Analytic study on posterior distributions in Bayesian statistics using resolution of singularities

渡辺澄夫氏によるベイズ統計の一般理論に基づき，広中の特異点解消を用いてベイズ統計学における事後分布の解析的評価に関して考察する．特に2 変数パラメータの場合においてV. A. Vasil’ev（1977）により分類された関数の最小点における標準形に関して，具体的に特異点解消を構成して事後分布の積分計算を行う．結果として，事後分布を実対数閾値をパラメータとして持つガンマ分布に従う確率変数の累乗根とベータ分布またはそれに近い分布に従う確率変数の累乗根の積で表す．

令和４年度修士論文（2023年2月）

沖田大河

多様体上のデータクラウドとパーシステントホモロジー

Persistent Homology and Cloud of Data on Manifolds

多様体仮説の一例として，Mumford, Carlssonらは，自然背景画像から得られた点データ群のパーシステントホモロジーを計算し，データがクラインボトルに同相な２次元部分多様体の近くに高密度に分布していることの傍証を示した．そこで逆に，多様体M上に分布する点データ群Dに対してパーシステントホモロジーをどのように定義するかという問いを考察した．Mのリーマン計量からDを頂点集合とする重み付きグラフを生成する．これよりDは高次元ユークリッド空間に埋め込まれることから，Dがある程度M上で一様に分布していれば，そのパーシステントホモロジーは安定した時間領域においてMのホモロジーを復元するだろう．これを検証すべく，簡単のため，Mが閉曲面の場合に人工データでの計算機実験を行なった．《方向統計学》等における実データに関して応用が考えられる．

金野 聖平

拡大マルコフモデルに関する双対平坦構造

Dually flat structure on extended Markov models

情報幾何学において《双対平坦構造》は最も重要な概念である．これは多様体M上のリーマン計量および２つの双対なアファイン平坦接続の組であって，統計モデル（の指数型分布族）で言えば，フィッシャー・ラオ計量およびモデル・パラメータと期待値パラメータの間に成り立つ関係を表現するものである．本修論では，有限グラフに付随する遷移確率族のパラメータ空間M上に定まる《マルコフモデルの双対平坦構造》を扱う．確率分布であることやマルコフ連鎖の定常性に由来するパラメータの制限を取り除いたアフィン空間Nを便宜的に拡大マルコフモデルと呼ぶ．本修論の主結果として，N上にリーマン計量の退化を許容する双対平坦構造である《概ヘッセ構造》（中島氏（同研究室博士院生）が導入）が自然に定義されることを示した．概ヘッセ構造をMに制限することにより，マルコフモデルの双対平坦構造が復元される．拡大マルコフモデルはパラメータ空間の取り方が極めて簡便かつ情報幾何的構造が自然に入ることから実応用面で有益であろう．

田邊真郷

デファイナブル・リー亜群の標準的な滑層分割および可微分写像の特異点論

Canonical stratification of definable Lie groupoids and singularity theory of smooth mappings

実空間上の半代数的集合（semi-algebraic sets）とは，実変数の多項式の等式および不等式で表される図形のことである．quantfier eliminationなど，情報科学の文脈においてもアルゴリズムの設計などで大いに有用なものである．さて，本修論の主結果は，実代数群の作用に関してMather と Vassiliev が独立に得ていた定理の拡張をかなり一般的な状況において与えるものである．すなわち，半代数的リー亜群（半代数的スタック）に対して，亜群の作用で不変な半代数的 Whitney 滑層分割（ stratification）が構成でき，分割の各部分多様体（stratum）の商空間には実解析的多様体の構造が入ることを，o-ミニマルカテゴリーの文脈で証明している．ついで，この結果の無限次元版として，可微分多様体の間の可微分写像全体がなす無限次元フレッシェ多様体において同種のstratificationがあることが予想されている（J. Mather）．この証明に向けた準備を本修論の別の章に含めている．（論文がJ. Singlaritiesに出版：http://www.journalofsing.org/volume26/article4.html）

柳内幹太

多峰ピアソンモデルによる推定と EM アルゴリズム

Statistical inference and EM algorithm based on Multimodal Pearson models

古典的なピアソンモデルとは，ガウス分布，ベータ分布，ガンマ分布，逆ガンマ分布，スチューデントt分布を統一的に束ねた解析的に扱いやすい確率分布族である．多峰性分布とは，モード（確率密度関数の極大値）が複数ある確率分布を指す．多峰性分布の推定では，混合ガウス分布を用いたEMアルゴリムがよく採用されるが，これは計算しやすいという理由であることも多い．本修論では，ピアソンモデルに依拠した多峰性分布の推定法を提案する．まず，単峰であるピアソンモデルを拡張して多峰性を持つ指数型分布族である多峰ピアソンモデルを導入する．多峰ピアソンモデルには，部分積分からすぐ得られる漸化式を用いたモーメント推定法がある．一方，同一種のピアソンモデルの混合分布を用いたEMアルゴリムによる推定手法も提案する．これらと通常の混合ガウス分布を用いたEMアルゴリズムの３種の推定方法について，人工的なデータで持って推定の検証実験を行なった（その一部は令和２年度修了の中野陽太郎氏の修論結果の拡張である）