Example 1 - Propagação de wifi(Problema de autovalor e autovetor)

Fonte: Texto traduzido originalmente do excelente material de Frederic Hecht.

Vamos estudar a potência do sinal wi-fi em um apartamento. Um apartamento foi projetado especialmente para o experimento, com 3 paredes (Em Frederic Hecht foi considerado 2 paredes):

Mesmo que o apartamento pareça pequeno o suficiente para ser coberto por wi-fi em todos os lugares, ainda é interessante estudar onde a potência do sinal é mais baixa. Estudaremos onde colocar o ponto de acesso para obter a melhor cobertura e, como somos um pouco preguiçosos, só o colocaremos próximo à parede esquerda.

Física

Em suma, o Wifi é uma onda eletromagnética que contém um sinal: dados da Internet. As ondas eletromagnéticas são bem conhecidas pelos físicos e são regidas pelas 4 equações de Maxwell, que fornecem a solução para E, o campo elétrico, e B, o campo magnético, no espaço, mas também no tempo.

Não nos importamos com o tempo aqui, porque o período do sinal é muito curto, então a qualidade da nossa internet não mudará com o tempo. Sem tempo, procuramos soluções estacionárias, e as equações de Maxwell podem ser simplificadas em uma equação, a de Helmholtz:

Onde k é o número de onda angular do sinal wi-fi e n o índice de refração do material em que a onda está.

Na verdade, o ponto principal deste estudo é o impacto das paredes na potência do sinal, onde o valor n é diferente no ar (onde é 1). Em paredes, o índice de refração é um número complexo em que as duas partes têm uma interpretação física

1. • A parte real define a reflexão da parede (a quantidade de sinal que não passa).

2. • A parte imaginária define a absorção da parede (a quantidade que desaparece).

O ponto de acesso wi-fi (simulado por um círculo simples) será a condição de contorno, com um valor não nulo para nosso campo elétrico.

Wifi Propagation

Os detalhes sobre o algoritmo pode ser encontrado em Frederic Hecht.

Finalmente, plota-se o log do módulo da solução E para ver a potência do sinal, e aqui estamos:

Lindo, não é? Esta é a primeira posição para o ponto de acesso, mas existem 6 outras, e o campo elétrico está evoluindo dependendo da posição. Você pode ver as outras posições aqui:

Analisando os dados obtidos numericamente e as imagens, o que podemos concluir?

_______________________Posição 1___________________________________

-- mesh: Nb of Triangles = 38992, Nb of Vertices 19757

Reflexion of walls min/max: 3.52785e-06 0.999992

Absorption of walls min/max: (0,9.57714e-06) (0,0.499988)

-- Solve : min (-1.60651,-2.15342) max (1.5185,1.3561)

_______________________Posição 2__________________________________________

-- mesh: Nb of Triangles = 39076, Nb of Vertices 19799

Reflexion of walls min/max: 5.49229e-05 0.999999

Absorption of walls min/max: (0,1.10666e-05) (0,0.499989)

-- Solve : min (-1.7766,-1.37678) max (1.42112,1.42796)

______________________Posição 3__________________________________________

-- mesh: Nb of Triangles = 39446, Nb of Vertices 19984

Reflexion of walls min/max: 1.12224e-06 0.999992

Absorption of walls min/max: (0,1.10666e-05) (0,0.499996)

-- Solve : min (-2.57831,-1.41676) max (1.28813,1.45656)

______________________Posição 4_________________________________________

-- mesh: Nb of Triangles = 38478, Nb of Vertices 19500

Reflexion of walls min/max: 1.25493e-05 0.999962

Absorption of walls min/max: (0,5.20737e-06) (0,0.499986)

-- Solve : min (-1.16872,-2.01805) max (1.01735,1.97049)

_______________________Posição 5________________________________________

-- mesh: Nb of Triangles = 40414, Nb of Vertices 20468

Reflexion of walls min/max: 5.49229e-05 0.999997

Absorption of walls min/max: (0,5.20737e-06) (0,0.499996)

-- Solve : min (-2.57832,-2.17022) max (1.09694,1.36365)

________________________Posição 6______________________________________

-- mesh: Nb of Triangles = 40300, Nb of Vertices 20411

Reflexion of walls min/max: 0.000152339 0.999905

Absorption of walls min/max: (0,4.40775e-05) (0,0.499987)

-- Solve : min (-2.3399,-1.82221) max (2.18937,2.31455)

________________________Posição 7______________________________________

-- mesh: Nb of Triangles = 39208, Nb of Vertices 19865

Reflexion of walls min/max: 0.000126909 0.999999

Absorption of walls min/max: (0,1.88465e-06) (0,0.499996)

-- Solve : min (-2.44818,-3.45774) max (1.9841,2.15136)

As posições 4 e 6 são as melhores para instalar o ponto de wifi. Por que?