Seminario de Análisis

En análisis armónico abstracto, si G es un grupo topológico localmente compacto toda la información de G está contenida en su grupo dual

        G^ := { φ: G → S| φ es continua y un homomorfismo de grupos }

donde S = { z ∈ ℂ : |z| = 1 }. Lo anterior es precisamente lo que nos dice el Teorema de dualidad de Pontryagin-van Kampen pues este teorema asegura que (G^)^ es isomorfo (como grupo topológico) a G. Sin embargo, si el grupo deja de ser abeliano el grupo dual [no siempre] posee la suficiente información para recuperar el grupo G (incluso G^ puede ser trivial). El teorema de dualidad de Tannaka-Krein es el análogo al teorema de dualidad de Pontryagin-van Kampen para el caso en que G es un grupo compacto. Resulta que toda la información de G está contenida en su categoría de representaciones unitarias continuas. Más en concreto Krein encontró una estructura algebraica en las representaciones de G la cual caracteriza completamente a G. Tannaka por su parte demostró que esta estructura algebraica es suficiente para recuperar a G.

En esta charla damos las definiciones necesarias para enunciar el teorema de dualidad de Tannaka-Krein, modificando un poco la definición para un enfoque más moderno y esbozamos parte de la demostración.