ANÁLISE COMBINATÓRIA
Segundo Morgado (1991, p. 1), a Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. Em outras palavras, pode-se definir a Análise Combinatória como sendo a parte da Matemática que trata de problemas onde sujeitos, seres, objetos, elementos alfanuméricos ou outros elementos se relacionam em uma determinada regra, ordem, sequência, ou outra relação exigida.
Duas definições iniciais importantes no estudo de análise combinatória são experimento e evento.
Definição 1:
Ao organizar ou relacionar elementos de acordo com uma regra definimos um experimento.
Definição 2:
Espaço amostral (S), é o conjunto de todos os resultados possíveis de um dado experimento.
Evento é definido como qualquer subconjunto de resultados desse experimento.
Os problemas de Combinatória podem ser resolvidos enumerando os elementos do espaço amostral ou do evento solicitado de acordo com o experimento, como será visualizado nos dois exemplos seguintes, mas os elementos desse conjunto podem ser mais facilmente obtidos pelo uso dos princípios aditivo e multiplicativo e da árvore de possibilidades ou diagrama de árvore, que veremos mais adiante.
No que segue, utilizaremos atividades construídas ambiente Scratch para consolidar as definições apresentada.
(baseado no livro de Lipschutz e Lipson)
A atividade abaixo traz uma introdução à Análise Combinatória
REPRESENTAÇÃO
A árvore de possibilidades (ou diagrama de árvore) é uma representação simbólica que possibilita a “compreensão de diferentes relações combinatórias, sendo possível, assim, trabalhar os variados tipos de problemas combinatórios, observando-se as semelhanças e diferenças entre eles” (AZEVEDO; BORBA, 2013, P. 39). Portanto, a árvore de possibilidades, também conhecida como diagrama de árvore é uma representação da ramificação de todos os possíveis resultados de um experimento. Com ela, simplificamos essa representação utilizando elementos alfanuméricos ou outros símbolos para indicar os sujeitos, seres ou objetos do evento, onde de cada um desses elementos emerge um novo ramo para cada uma das possibilidades seguintes, permitindo indicar todas as possibilidades e evitar repetir os elementos. Em uma árvore de possibilidades, a sequência dos elementos é representada ou interligada por setas ou segmentos.
A próxima atividade vai mostrar como construir a árvore de possibilidades.
PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO
Princípio Aditivo
O princípio aditivo, também conhecido como princípio da regra da soma, é utilizado quando dois ou mais eventos não podem ocorrer simultaneamente ou, em outras palavras, são mutuamente exclusivos.
Inicialmente, considere dois eventos A e B mutuamente exclusivos, e suponha que o evento A possa ocorrer de m maneiras distintas (m resultados) e o evento B ocorra de n maneiras distintas (n resultados). Então o evento A ou o evento B podem ocorrer de m + n maneiras distintas (m + n resultados).
Generalizando, dados os eventos E1, E2, . . . , Ek, com, respectivamente, n1, n2, . . . , nk
maneiras distintas de ocorrer, sendo que cada dois não podem ocorrer simultaneamente, tem-se
que existem n1 + n2 +···+ nk maneiras distintas de ocorrer algum dos eventos.
Princípio Multiplicativo
É conhecido também como regra do produto, produto cartesiano ou princípio fundamental da contagem. Utiliza-se este princípio quando dois ou mais eventos ocorrem de forma independente um do outro. Considerando inicialmente dois eventos A e B, e supondo que o Evento A possa ocorrer de
m maneiras distintas (m resultados) e o Evento B ocorra de n maneiras distintas (n resultados), então o Evento A e o Evento B podem ocorrer de m · n maneiras (m · n resultados).
Generalizando, dados os eventos E1, E2, E3, . . . , Ek, tendo, respectivamente, n1, n2, n3, . . . , nk
maneiras distintas de ocorrer, então todos os eventos podem ocorrer na ordem E1, E2,E3, . . . , Ek de
n1 · n2 · n3 · ··· · nk maneiras diferentes.
A atividade abaixo irá mostrar exemplos dos princípios aditivo e multiplicativo.
(EF04MA08) - Resolver, com o suporte de imagem e/ou material manipulável, problemas simples de contagem, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra, utilizando estratégias e formas de registro pessoais.
(EF05MA09) - Resolver e elaborar problemas simples de contagem envolvendo o princípio multiplicativo, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra coleção, por meio de diagramas de árvore ou por tabelas.
(EF08MA03) - Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
(EM13MAT310) - Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
A permutação consiste em trocarmos a ordem dos elementos de um conjunto, de modo que o agrupamento formado se diferencie dos demais pela ordem dos elementos.
Nas próximas atividades, você irá interagir com exemplos de permutação.
ARRANJO SIMPLES
Arranjo simples consiste em trocarmos a ordem dos elementos de um conjunto, de modo que o agrupamento formado se diferencie dos demais pela ordem dos elementos, porém, os elementos de cada grupo é menor do que os n elementos do conjunto.
Na próxima atividade, você irá interagir com um exemplo de arranjo.
História -6-
Para tela cheia clique no link abaixo:
COMBINAÇÃO
Na combinação simples, assim como em Arranjos simples, são formados grupos de p elementos distintos, escolhidos de um grupo de n elementos (onde p < n). A diferença para o arranjo simples está em que os grupos não diferem entre si pela ordem dos p elementos.
Escrevendo explicitadamente para o caso de três elementos, se dispomos os elementos a, b e c em todas as ordens possíveis, ou seja, (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a), mesmo assim, temos um único conjunto {a, b, c}, já que a ordem não importa.
Neste exemplo, só teremos um novo conjunto se inserirmos um novo elemento, por exemplo d, ao conjunto, como em {a, b, d}.
Nas próximas atividades, você irá interagir com exemplos de combinação.