A Matemática e a Geometria na Cambridge Vitoriana

Marcos Amatucci

Este texto visa construir um contexto da situação da Matemática e da Geometria na Cambridge no final do Século XIX para entender o início do trabalho de Russel (principalmente o Ensaio sobre os Fundamentos da Geometria – EFG) com esses conteúdos, bem como os debates entre britânicos e continentais no campo das ciências exatas.

As principais características do pensamento matemático britânico no período são aqui chamadas de referencialismo – devido à sua vinculação com uma teoria de verdade nas proposições matemáticas, e intuitivismo – nome que não pode ser confundido com o sentido das intuições kantianas – bastante influentes na geometria vitoriana – mas apenas em contraposição a uma concepção simbólico-formal no desenvolvimento dessas ciências. Daremos prioridade ao primeiro aspecto.

Matemática

A tradição que colocou Cambridge como referência britânica na Matemática deve-se, segundo Joan L. Richards RICHARDS (1980) aos trabalhos de George Peacock (1791-1858), William Whewell (1794-1866), John Herschel (1792-1871) e Augustus DeMorgan (1806-1871), todos cambridgeanos e bem colocados na ordem de mérito de seus respectivos Tripos.

Estes matemáticos e seus contemporâneos britânicos possuem uma visão peculiar (em relação ao continente) de Matemática como uma ciência que possui objetos concretos onde sua metodologia pode ser aplicada. Richards atribui este fato à concepção de verdade guardada por eles: as proposições abstratas da Matemática não possuem valor-verdade, mas apenas as proposições aplicadas a objetos concretos podem ser verdadeiras. Assim, uma teoria Matemática somente está pronta e acabada depois que uma interpretação do desenvolvimento teórico abstrato pode ser encontrada. Assim, por exemplo, a Álgebra Simbólica de Peacock não tem a mesma qualidade da Aritmética Universal, obtida a partir da generalização de proposições da Aritmética. Nesta última, a igualdade (a² – b²) = (a + b) . (a – b), obtida pela generalização de quantidades concretas como (4² – 2²) = (4 + 2) . (4 – 2), deve ser seguida da restrição a > b para sustentar seu valor-verdade, uma vez que o objeto da Aritmética são quantidades reais. Na Álgebra Simbólica, onde a restrição é levantada, o desenvolvimento abstrato pode ser levado adiante, mas não tem valor até que se encontre uma interpretação aceitável para o número negativo.

A mesma visão compartilhava Whewell. Sem a correspondência com um referente, uma proposição da Matemática simplesmente não pode ter valor-verdade. Trata-se de uma ciência empírica como as outras. Ainda com pequenas divergências, a noção de ciência Matemática é a mesma para DeMorgan e Herschel.

Em seu livro Trigonometry and Double Algebra, DeMorgan apresenta a Álgebra simbólica como “arte”, podendo posteriormente ser desenvolvida em ciência quando a ela se juntar uma interpretação. Ressalta que a vantagem de começar-se pela arte é a de que, posteriormente, esta pode ramificar-se em diversas interpretações, que não surgiriam se o desenvolvimento seguisse da interpretação para a abstração.

DeMorgan mostra que o desenvolvimento algébrico abstrato pode ter generalidade, mas é obrigado a certificar-se de que as aplicações são possíveis para provar que o desenvolvimento em questão tem a capacidade de gerar proposições verdadeiras, com referentes que existem para além da simbologia. Isto é, o símbolo abstrato não perde sua característica de signo.

A mesma visão terá Russell no campo da Geometria: as novas geometrias são “Metageometria”, neste sentido de “arte-até-que-se-encontre-interpretação”.

Geometria

Este período foi particularmente turbulento para a Geometria devido ao desenvolvimento e consolidação das geometrias não-euclidianas. O impacto é tão maior na GrãBretanha quanto mais as proposições verdadeiras demandem aplicação.

O impacto colocou em dúvida a ciência em que o a verdade apodítica era indubitável, e que fornecia o terreno para a possibilidade do ser humano atingir outras verdades, nos planos morais e teológicos. O impacto do conhecimento que a geometria euclidiana poderia ser apenas uma entre outras literalmente tirou este fundamento de possibilidade epistemológica atingindo os pensadores britânicos em planos mais profundos do que aqueles representados por pontos e retas.

O fundamento da captação de verdades apodíticas foi o motivo pelo qual o Tripos foi implementado em Cambridge, e pelo qual os estudantes de todas as especializações tinham que passar pela Geometria: para perceberem que existem certezas necessárias, as quais deveriam ser reconhecidas em outros campos, notadamente a metafísica e a existência de Deus. A Cambridge de Whewell e Herschel identificava educação liberal (em oposição a uma formação específica como direito ou medicina) com o desenvolvimento do raciocínio, a ser empregado em qualquer área no futuro profissional dos estudantes. E o modo de desenvolver este raciocínio era, em oposição à educação clássica de Oxford, o ensino da matemática. A matemática era, entre divergências de empiristas “empíricos” e empiristas “nativistas”, unanimemente uma ciência descritiva, e sua verdade (como vimos) devia referir-se a fatos no mundo. O paradigma da educação liberal de Cambridge era o homem da ciência – quaisquer que sejam os caminhos futuros que os jovens escolhessem como exercício profissional, fariam-no melhor se estivessem em contato próximo com os maiores benfeitores da humanidade. O cientista (termo aparentemente cunhado pelo próprio Whewell) é o paradigma da formação liberal porque a ciência, com sua fundamentação empírica, é o paradigma da verdade na epistemologia.

A identificação do homem virtuoso com o homem da ciência é oriunda do pensamento de um círculo de matemáticos e cientistas autodenominado Sociedade Analítica, inicialmente composta por nomes como Charles Babbage, John Herschel e George Peacock; depois Charles B. Atry e William Whewell. Representantes deste grupo estiveram presentes em muitos outros círculos importantes, de maneira a “dar o tom” do desenvolvimento científico britânico da primeira metade do século XIX. Entre os feitos de sua influência está a substituição, primeiramente em Cambridge, mas depois em outras universidades, da dificultosa notação de fluxo de Newton pela notação infinitesimal de Leibniz, o que propiciou grande avanço no desenvolvimento do Cálculo, e intercâmbio de ideias com o continente.

Estas raízes profundas da matemática e da geometria nas convicções morais de meados do século XIX servem para se avaliar o impacto do surgimento das geometrias não-euclidianas, e o questionamento da apoditicidade da geometria euclidiana.

As geometrias não euclidianas, como é sabido, surgem do questionamento do postulado das paralelas de Euclides. O postulado afirma que retas paralelas não se encontram. Como, por postulados anteriores, a reta pode ser estendida indefinidamente, o postulado das paralelas legisla sobre o infinito. Não podia ser “autoevidente” (como eram os demais axiomas e postulados) o fato de que as retas não se encontrassem no infinito, pois não se pode ter evidência do infinito.

Sendo este um postulado que afirma algo sobre uma ideia abstrata (e problemática), se tal evidência fosse para ser encontrada, devê-lo-ia ser por meio de demonstrações formais, e não intuitivas (como eram por exemplo no axioma “iguais somados a iguais resultam em iguais”), pois matemáticos e filósofos concordam que deste objeto não há intuição possível. A “prova” deste quinto postulado a partir dos outros quatro e dos axiomas não resultou em nada – como seria de se esperar, pois partindo-se de premissas evidentes só se chegaria a uma conclusão que não pode ser evidente por meio de uma premissa ontológica da lógica utilizada, caso em que se substituiria um postulado problemático por uma premissa oculta.

Estas conclusões, bem como a de outros matemáticos, caem como bombas alemãs sobre as certezas britânicas. Se o primeiro Tripos de matemática nutria uma geometria euclidiana “geral” como forma de colocar jovens intelectuais em contado com verdades apodíticas, que tipo de certezas poderia a ciência pretender, uma vez que a rainha das ciências não é mais certa, e sim depende de evidências empíricas – isto é, é contingente? Um novo Hume desaba sobre as apoditicidade das ciências exatas no século XIX – é o Hume da “Metageometria”, e estas não podem mais ser salvas por Kant. Mas Russell vai tentar, e é o que faz em EFG.