Алгебра 1
осень 2020
Лектор: Евгений Борисович Фейгин
Семинаристы: Каринэ Георгиевна Куюмжиян, Андрей Михайлович Левин, Константин Валерьевич Логинов, Никита Суренович Маркарян, Евгений Борисович Фейгин.
Формула оценки: 0.2 (домашние задания) + 0.2 (контрольные работы) + 0.2.(коллоквиум) + 0.4 (экзамен).
Объявления
В файле в разделе Результаты выставлены оценки за экзамен и итоговая оценка.
ФИО принимающего, зум ссылка, время подключения, номера двух билетов.
Экзамен будет состоять в беседе с принимающим по билетам и по дополнительным вопросам.
В файле в разделе Результаты выставлены оценки 10 автоматом за экзамен. Автоматы выставлены тем, кто набрал максимальную накопленную оценку 6 за работу в течение семестра, а также тем, кого рекомендовали преподаватели, ведущие семинары.
Максимальная оценка за ДЗ и КР выставляется за 80% от максимального балла.
Лекции
Лекция 1. 02.09. Целые и натуральные числа, операции сложения и умножения. Деление с остатком, простые числа. Наибольший общий делитель двух чисел. Существование наибольшего общего делителя. Представление наибольшего общего делителя d чисел a и b в виде d=au+bv для некоторых целых a и b. Алгоритм Евклида.
Лекция 2. 11.09. Разложение натурального числа в произведение простых, основная теорема арифметики. Определение кольца. Делители нуля, обратимые элементы. Целостные кольца. Норма и евклидовы кольца. Кольца вычетов. Кольца многочленов. Норма на кольце многочленов.
Лекция 3. 15.09. Абелевы группы, кольца, поля - определения. Подгруппы, подкольца, подполя. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая записи. Умножение и деление в тригонометрической записи. Формула Муавра. Группа корней из единицы. Первообразные корни.
Лекция 4, 18.09. Отношение эквивалентности, согласованные операции. Множество классов эквивалентности, индуцированные операции. Кольца вычетов по целому модулю, условие существования обратного элемента. Характеристика поля, её простота. Кольца многочленов с коэффициентами в поле и кольца функций.
Лекция 5, 25.09. Кольцо формальных степенных рядов, кольцо рядов Лорана. Факториальные кольца, факториальность евклидовых колец, приложение к кольцу многочленов. Неприводимые многочлены. Кольцо вычетов по модулю многочлена. Изоморфизм полей, реализация комплексных чисел. Фактор по неприводимому многочлену и обратимость в кольце вычетов.
Лекция 6, 29.09. Примеры колец вычетов по многочленам, факториальность кольца многочленов и отсутствие делителей нуля в вычетах по неприводимому многочлену. Примеры: комплексные числа, конечные поля. Китайская теорема об остатках для чисел: классическая формулировка и в терминах изоморфизмов колец. Китайская теорема об остатках для многочленов, случай произвольных евклидовых колец.
Лекция 6. 02.10. Группы: определения и примеры. Коммутативные и некоммутативные группы. Циклические группы, мультипликативные группы полей и группы преобразований. Гомоморфизмы групп, ядра и образы. Порядки элементов. Критерий инъективности гомоморфизма. Теорема о подгруппах мультпликативной группы поля. Лемма о порядке произведения двух элементов со взаимнопростыми порядками.
Лекция 7, 09 10. Теорема о цикличности конченых подгрупп мультипликативной группы поля. Симметрические группы, группы преобразований, группа обратимых линейных отображений. Подгруппы в циклической группе. Группа преобразований двумерного пространства, сохраняющих длины векторов. Специальная ортогональная группа.
Лекция 8, 13.10. Идеалы в коммутативных кольцах, определение, примеры. Фактор кольца и классы эквивалентности. Идеалы в целых числах, идеалы в полях. Кольца главных идеалов, евклидовы кольца являются КГИ. Пример идеала, не являющегося главным.
Лекция 9. 16.10. Обзор пройденного за первый модуль.
Лекция 10, 30.10. Напоминание про группы: подгруппы, гомоморфизмы, порядок элемента. Симметрическая группа. Циклы и транспозиции. Разложение перестановки в произведение непересекающихся циклов. Системы порождающих элементов в симметрической группе: циклы, транспозиции, транспозиции вида (i,i+1). Разложение на непересекающиеся циклы и порядок перестановки.
Лекция 11, 30.10. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе. Отношение эквивалентности, разбиение элементов группы на смежные классы. Примеры тривиальных подгрупп (единичная подгруппа и вся группа). Количество элементов в одном смежном классе, число смежных классов. Теорема Лагранжа, следствие для возможных порядков элементов.
Лекция 12, 06.11. Беспорядки и чётность перестановок. Чётность произведения двух перестановок. Подгруппа чётных перестановок (знакопеременная подгруппа). Левые и правые смежные классы, нормальные подгруппы. Определение факторгруппы по нормальной подгруппе. Сопряжение элементами группы.
Лекция 13, 13.11. Смежные классы, нормальные подгруппы, фактор группы -- напоминание. Сопряжение как гомоморфизм из группы G в группу Aut(G). Ядро и образ гомоморфизма, нормальность ядра, изоморфизм между фактором по ядру и образом. Отождествление прообразов элементов при гомоморфизме. Отображение проекции из группы на факторгруппу.
Лекция 14, 13.11. Разложение произвольного гомоморфизма в композицию проекции и вложения. Группы преобразований, примеры. Орбиты действия группы преобразований на множестве, Стабилизатор точки при действии группой преобразований.
Лекция 15, 20.11. Группы преобразований, орбиты, стабилизаторы, количество элементов в группе через длину орбиты и стабилизатор. Действия группы на самой себе сопряжением и умножением, общие свойства. Орбиты при действии группы перестановок на себе сопряжением. Группы диэдра: определение и примеры. Группа движений фигуры в трёхмерном пространстве.
Лекции 16-17, 27.11. Ортогональные группы, собственные и несобственные преобразования. Группы движений правильного тетраэдра и куба. Действие группы симметрий куба на множестве диагоналей и на множестве отрезков, соединяющих центры противоположных граней. Группы автоморфизмов, внутренние и внешние автоморфизмы. Действия групп на множествах. Точные, свободные и транзитивные действия. Орбиты и стабилизаторы при действии групп на множествах. Теорема о произведении порядка орбиты на порядок стабилизатора. Действие группы перестановок на множестве слов фиксированной длины из фиксированного алфавита.
Лекция 18, 11.12. Неподвижные точки и формула для количества орбит - теорема Полиа-Бернсайда. Количество различных ожерелий и группа диэдра. Коммутаторы элементов группы, коммутант. Основные свойства коммутанта.
Результаты. results
Семинары 1-2 + ДЗ1. seminar1-2+hw1
Семинар 3+ДЗ2. seminar3+hw2
Семинары 4-5+ДЗ3 seminar4-5+hw3
Семинар 6 + ДЗ4 seminar6+hw4
Семинар 7 seminar7
Семинар 8 seminar8
Семинар 9 + ДЗ 5 seminar9+hw5
Семинар 10 + ДЗ 6 seminar10+hw6
Семинар 11+ДЗ 7 seminar11+hw7
Семинары 12-13 + ДЗ8 seminar12-13+hw8
Семинар 14 + ДЗ 9 seminar14+hw9
Семинары 15-16 seminar15-16
Семинар 17 seminar17
Семинары 18-19 seminars18-19
Учебники:
Городенцев А.Л., Алгебра. учебник для студентов-математиков. Часть 1
Э.Б.Винберг, Курс алгебры
А.И.Кострикин, Введение в алгебру.

Примерный план второго семестра:
Группы простые и разрешимые. Простота А_n (начиная с n=5). Теоремы Силова. Свободная группа, задание группы образующими и соотношениями. Полупрямое произведение.
Классификация конечно порожденных абелевых групп, немного линейной алгебры над Z. Подгруппы свободной абелевой группы.
Модули. Модули над евклидовыми кольцами (или более общим образом над кольцами главных идеалов). Приложение: нормальные формы линейных операторов (фробениусова и жорданова).
Начала коммутативной алгебры: простые и максимальные идеалы, нетеровость, разложение на неприводимые и факториальность, лемма Гаусса, факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Некоторые критерии неприводимости. Неприводимые элементы и простые идеалы. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.
Немного полуторалинейной алгебры (она здесь в общем ни при чем, но не влезает в другие курсы): эрмитовы формы, эрмитовы операторы, нормальные операторы, спектральная теорема. Кососимметрические формы (заодно).
Полилинейные формы, тензорное произведение векторных пространств и по мере сил модулей над кольцом. Симметрическая и внешняя степень.
Литература: Винберг и еще M. Artin, Algebra (кажется, не переведенная до сих пор на русский).