Алгебра, 1 семестр, лекции, мехмат МГУ, 101-107 группа, осенний семестр 2025/2026

Программа коллоквиума 

1) 04.09.2025. Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.

Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел.

Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица.

Упражнение. Пусть A - матрица размера m x n. Обозначим через E_n единичную матрицу размера n x n. Доказать, что A E_n = A.

Некоммутативность умножения матриц. 

2) 08.09.2025. Арифметическое векторное пространство R^n.

Упражнение. Из свойств вещественных чисел вывести, что

A(C+D)=AC+AD,

(A+B)C=AC+BC,

(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC),

где A,B,C,D - матрицы соответствующих размеров, а \lambda - вещественное число.

Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.

Упражнение: (A+B)^T = A^T+B^T,

(\alpha A)^T = \alpha A^T,

(AB)^T = B^T A^T.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.

3) 15.09.2025. Равенство 0v=0. Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в R^n. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц. 

 4) 18.09.2025. Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.

Упражнение. Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.

Линейные отображения.

Упражнение. Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.

Упражнение. Композиция линейных отображений линейна.

Изоморфизм любого n-мерного векторного пространства пространству R^n. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у. 

5) 22.09.2025. Ранг транспонированной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Циклы и транспозиции. 

6) 29.09.2025. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. Упражнение: показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. Упражнение: ядро и образ гомоморфизма - подгруппы. Знакопеременная группа A_n. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Определитель матрицы. Определители матриц 1×1, 2×2, 3×3.

7) 02.10.2025. Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение S_n в дизъюнктное объединение A_n и \sigma A_n, где \sigma - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя. 

8) 06.10.2025. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей.

Упражнение. Показать, что формула вычисления определителя detA detD − detB detC в общем случае неверна для определителей блочных матриц 

(AB)

(CD)

 даже в случае квадратных блоков A, B, C, D одинакового размера.

Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.

Упражнение. (ab)^{−1}=b^{−1}a^{−1} для всех a,b ∈ G, где G — произвольная группа.

Обратная матрица. 

9) 13.10.2025. Упражнение: (A^T)^{−1}=(A^{−1})^T.

Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Группы GL_n(R)

и SL_n(R). Фальшивое разложение определителя. Формула для элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.

10) 16.10.2025. Подгруппы, порождённые подмножествами. Циклические группы. Порядок элемента группы. Группа вычетов по модулю n. Подгруппы циклических групп.

Упражнение: найти все порождающие в группах Z и Z_n.

Группы простого порядка циклические. Кольца. Ассоциативные, коммутативные кольца, кольца с единицей. Примеры. Кольцо вычетов по модулю n. Кольцо квадратных матриц над ассоциативным кольцом с 1. 

 11) 20.10.2025. Кольцо многочленов над коммутативным кольцом с единицей.

Упражнение. Вывести то, что R[x] - коммутативное кольцо с единицей из того, что R -коммутативное кольцо с единицей.

Группа обратимых элементов ассоциативного кольца с единицей.

Упражнение. Вычислить группы обратимых элементов в кольцах Z, Q, R, R[x].

Делители нуля. Нильпотентные элементы. Тела. Поля. Кольца и поля вычетов. Малая теорема Ферма. Характеристика поля. Ненулевая характеристика поля всегда простая. Сказали, что все понятия и конструкции из линейной алгебры, введённые нами над вещественными числами: векторное пространство, линейная зависимость, базис, ранг матрицы, метод Гаусса, определитель - вводятся и работают над произвольным полем, за тем лишь исключением, что над полями характеристики 2 в аксиоматическом определении определителя вместо кососимметричности надо сразу требовать равенства нулю при совпадении двух строчек матрицы. Алгебры над полем. Примеры. 

Лекции по алгебре, 1 семестр (в процессе написания)

Литература.