Алгебра, 1 семестр, лекции, мехмат МГУ, 101-107 группа, осенний семестр 2025/2026

Программа коллоквиума 

1) 04.09.2025. Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.

Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел.

Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица.

Упражнение. Пусть A - матрица размера m x n. Обозначим через E_n единичную матрицу размера n x n. Доказать, что A E_n = A.

Некоммутативность умножения матриц. 

2) 08.09.2025. Арифметическое векторное пространство R^n.

Упражнение. Из свойств вещественных чисел вывести, что

A(C+D)=AC+AD,

(A+B)C=AC+BC,

(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC),

где A,B,C,D - матрицы соответствующих размеров, а \lambda - вещественное число.

Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.

Упражнение: (A+B)^T = A^T+B^T,

(\alpha A)^T = \alpha A^T,

(AB)^T = B^T A^T.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.

3) 15.09.2025. Равенство 0v=0. Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в R^n. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц. 

 4) 18.09.2025. Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.

Упражнение. Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.

Линейные отображения.

Упражнение. Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.

Упражнение. Композиция линейных отображений линейна.

Изоморфизм любого n-мерного векторного пространства пространству R^n. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у. 

5) 22.09.2025. Ранг транспонированной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Циклы и транспозиции. 

6) 29.09.2025. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. Упражнение: показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. Упражнение: ядро и образ гомоморфизма - подгруппы. Знакопеременная группа A_n. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Определитель матрицы. Определители матриц 1×1, 2×2, 3×3.

7) 02.10.2025. Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение S_n в дизъюнктное объединение A_n и \sigma A_n, где \sigma - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя. 

8) 06.10.2025. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей.

Упражнение. Показать, что формула вычисления определителя detA detD − detB detC в общем случае неверна для определителей блочных матриц 

(AB)

(CD)

 даже в случае квадратных блоков A, B, C, D одинакового размера.

Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.

Упражнение. (ab)^{−1}=b^{−1}a^{−1} для всех a,b ∈ G, где G — произвольная группа.

Обратная матрица. 

9) 13.10.2025. Упражнение: (A^T)^{−1}=(A^{−1})^T.

Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Группы GL_n(R)

и SL_n(R). Фальшивое разложение определителя. Формула для элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.

10) 16.10.2025. Подгруппы, порождённые подмножествами. Циклические группы. Порядок элемента группы. Группа вычетов по модулю n. Подгруппы циклических групп.

Упражнение: найти все порождающие в группах Z и Z_n.

Группы простого порядка циклические. Кольца. Ассоциативные, коммутативные кольца, кольца с единицей. Примеры. Кольцо вычетов по модулю n. Кольцо квадратных матриц над ассоциативным кольцом с 1. 

 11) 20.10.2025. Кольцо многочленов над коммутативным кольцом с единицей.

Упражнение. Вывести то, что R[x] - коммутативное кольцо с единицей из того, что R -коммутативное кольцо с единицей.

Группа обратимых элементов ассоциативного кольца с единицей.

Упражнение. Вычислить группы обратимых элементов в кольцах Z, Q, R, R[x].

Делители нуля. Нильпотентные элементы. Тела. Поля. Кольца и поля вычетов. Малая теорема Ферма. Характеристика поля. Ненулевая характеристика поля всегда простая. Сказали, что все понятия и конструкции из линейной алгебры, введённые нами над вещественными числами: векторное пространство, линейная зависимость, базис, ранг матрицы, метод Гаусса, определитель - вводятся и работают над произвольным полем, за тем лишь исключением, что над полями характеристики 2 в аксиоматическом определении определителя вместо кососимметричности надо сразу требовать равенства нулю при совпадении двух строчек матрицы.  Также нужно изменить теорему о числе решений системы линейных уравнений в зависимости от того, сколько элементов в поле. Алгебры над полем. Примеры. 

12) 27.10.2025. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец и алгебр, в т.ч. с единицей. Зачем нужны комплексные числа? Поле комплексных чисел как двумерная подалгебра с единицей в алгебре вещественных матриц 2×2. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Вещественная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Формулы Муавра. Группа корней из единицы. Примитивные корни из единицы. Примитивные корни из 1 в поле комплексных чисел. Неравенство треугольника для комплексных чисел (3-мя способами: через 2 семестр; через школьную геометрию на плоскости; через косинусы и синусы, как у Куроша). 

 13) 30.10.2025. Целостные кольца. Целостность кольца многочленов над целостным кольцом. Многочлены от нескольких переменных. Делимость. Ассоциированные элементы. Собственные делители. Деление многочленов в столбик. Схема Горнера.

Упражнение. Подстановка элемента коммутативного кольца R с 1 в многочлен задаёт гомоморфизм R[x]→R колец с 1.

Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корня. Связь между количеством корней и степенью многочлена. Функциональное равенство многочленов над бесконечным целостным кольцом влечёт равенство многочленов. То же для колец многочленов от нескольких переменных. Многочлен x^2−1 над кольцом Z_8 имеет 4 различных корня. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 

14) 01.11.2025. Связь интерполяционного многочлена с определителем Вандермонда. Алгебраически замкнутые поля. «Основная» теорема алгебры. (Пока без доказательства. Доказательство будет в конце семестра.) Неприводимые многочлены. Неприводимые элементы в целостном кольце. Неприводимые многочлены над R и над C.

Упражнение. Доказать, что комплексное сопряжение - это гомоморфизм C→C алгебр с 1 над полем вещественных чисел.

Наибольший общий делитель (НОД). Единственность НОД с точностью до обратимых множителей. Евклидовы кольца. 

15) 10.11.2025. Существование единицы в евклидовом кольце. Алгоритм Евклида. Существование НОД(a,b) и его выражение через a и b в евклидовых кольцах. НОД в евклидовых кольцах. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец. Производная многочлена и её свойства. (Доказали линейность.) 

16) 13.11.2025. Доказали правило Лейбница. Кратные корни. Поиск кратных корней. Вычисление всех производных многочлена в конкретной точке при помощи схемы Горнера. Формула Тейлора. Поле частных целостного кольца. Рациональные дроби. 

17) 17.11.2025. Простейшие дроби. Разложение произвольного элемента поля частных Q(R) евклидова кольца R в сумму элемента кольца R и простейших дробей. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Единственность разложения для случая, когда R - кольцо многочленов над полем, и отсутствие единственности, когда R - кольцо целых чисел. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Лексикографическое упорядочение. Теорема о строении кольца симметрических многочленов. Алгебраическая независимость элементарных симметрических многочленов. 

18) 24.11.2025. Формулы Виета. Определитель матрицы с элементами из произвольного коммутативного кольца с 1 и его свойства. Результант двух многочленов. Критерий равенства результанта нулю. Результант как функция корней. Дискриминант многочлена. Связь дискриминанта и результанта. 

Лекции по алгебре, 1 семестр (в процессе написания)

Литература.