Специальный курс "Кольца и алгебры", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2025/2026


Название осеннего семестра Ассоциативные кольца, весеннего семестра - Алгебры Ли.

Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05,  ауд. 14-08 (главное здание МГУ), первая лекция 8 сентября 2025 года.

среда, 16:45-18:20, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: 12, 19, 26 ноября и (возможно, если 3 ноября не будет лекции) 10 декабря.

Экзамен по задачам осеннего семестра состоится 15 декабря вместо последней лекции. 

Аннотация. Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики. В осеннем семестре спецкурс называется «Ассоциативные кольца» и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй. Весенний семестр будет посвящён алгебрам Ли. 

Благодарности: чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС. 

 1) 08.09.2025. Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.

Упражнение. Проверить равенства 0_R m = 0_M и r 0_M = 0_M, где r - произвольный элемент кольца R, а m - произвольный элемент левого R-модуля M.

Гомоморфизм колец, гомоморфизм модулей. Подмодули. Прямая сумма и прямое произведение модулей. Модули над кольцом с единицей. Присоединение к кольцу единицы. Левые, правые и двухсторонние идеалы. Факторкольцо.

Упражнение. Показать корректность определения кольца.

Теорема о гомоморфизме колец. Фактормодуль.

Упражнение. Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме модулей. 

2) 15.09.2025. Пример ненильпотентного ниль-кольца. Неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули. Аннулятор модуля. Радикал Джекобсона. Регулярные левые идеалы. Частично упорядоченные множества. Лемма Цорна. Звёздное произведение. Различные характеризации радикала Джекобсона. Радикальная группа. Левый и правый радикалы Джекобсона совпадают. 

Литература: