Специальный курс "Кольца и алгебры", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2025/2026


Название осеннего семестра Ассоциативные кольца, весеннего семестра - Алгебры Ли.

Годовой спецкурс (два независимых полугодовых спецкурса) для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05,  ауд. 14-08 (главное здание МГУ), первая лекция 8 сентября 2025 года.

среда, 16:45-18:20, ауд. 405 (2-й учебный корпус), в следующие даты: 12, 19, 26 ноября и 10 декабря.

Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца") состоится 15 декабря вместо последней лекции. 

 Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")

Решённые задачи нужно будет принести в отдельной тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами. 

Аннотация. Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики.

В осеннем семестре спецкурс называется «Ассоциативные кольца» и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй.

Весенний семестр (изложение будет вестись независимо от осеннего семестра) будет посвящён алгебрам Ли. Алгебры Ли находят своё применение в механике, физике, геометрии и дифференциальных уравнениях. С алгебрами Ли мы впервые знакомимся на первом курсе, изучая векторное произведение векторов, относительно которого векторы трёхмерного пространства и образуют алгебру Ли. Также любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора [a,b]:=ab−ba. В курсе планируется рассмотреть следующие темы: теоремы Энгеля и Ли, простые и полупростые алгебры Ли, форма Киллинга, критерий Картана, системы корней, диаграммы Дынкина, разрешимый и нильпотентный радикалы, подалгебра Картана, универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли, теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта, леммы Уайтхеда, теорема Вейля. Особое внимание планируется уделить когомологиям алгебр Ли и гомологическим методам. В частности, при помощи когомологий алгебр Ли будет доказана знаменитая теорема Леви–Мальцева об отщеплении разрешимого радикала максимальной полупростой подалгеброй. 

Благодарности: чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС. 

 1) 08.09.2025. Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.

Упражнение. Проверить равенства 0_A m = 0_M  и a 0_M = 0_M, где a - произвольный элемент кольца A, а m - произвольный элемент левого A-модуля M.

Гомоморфизм колец, гомоморфизм модулей. Подмодули. Прямая сумма и прямое произведение модулей. Модули над кольцом с единицей. Присоединение к кольцу единицы. Левые, правые и двухсторонние идеалы. Факторкольцо.

Упражнение. Показать, что структура кольца на факторкольце введена корректно.

Теорема о гомоморфизме колец. Фактормодуль.

Упражнение. Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме модулей. 

2) 15.09.2025. Пример ненильпотентного ниль-кольца. Неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули. Аннулятор модуля. Радикал Джекобсона. Регулярные левые идеалы. Частично упорядоченные множества. Лемма Цорна. Звёздное произведение. Различные характеризации радикала Джекобсона. Радикальная группа. Левый и правый радикалы Джекобсона совпадают. 

 3) 22.09.2025. Характеризация элементов j радикала Джекобсона в кольцах с единицей в терминах обратимости элементов вида (1+rj). Радикалы Джекобсона алгебры как кольца и как алгебры совпадают. Полупростые кольца. Радикал Джекобсона идеала.

Упражнение. Сохраняется ли радикал Джекобсона при сюръективных гомоморфизмах колец?

Простое кольцо. Простое кольцо с 1 полупросто. Примеры вычисления радикала Джекобсона: кольцо всех квадратных матриц над полем, кольцо верхнетреугольных матриц. 

4) 29.09.2025. Артиновы и нётеровы кольца. Пример кольца артинова слева, но не артинова справа. Нильпотентность радикала Джекобсона в артиновых кольцах (и алгебрах). Групповые алгебры. Теорема Машке (в терминах радикала Джекобсона). Идемпотенты. Минимальный левый идеал в кольце, не содержащем ненулевых нильпотентных идеалов, порождается идемпотентом. 

5) 06.10.2025. Поднятие идемпотентов по модулю ниль-идеала. Односторонние идеалы в полупростых артиновых кольцах порождаются идемпотентами, а двухсторонние - центральными идемпотентами. Существование единицы в полупростом артиновом кольце. Прямое произведение колец. Теорема Веддербёрна - Артина: разложение полупростого артинова кольца в (конечное) прямое произведение своих минимальных идеалов, которые являются простыми артиновыми кольцами. Свойство отщепляемости для вполне приводимых модулей. 

6) 13.10.2025. Теорема плотности. Примитивные кольца. Тела. Кольцо эндоморфизмов неприводимого модуля - тело. Линейная алгебра над телами. Теорема Веддербёрна - Артина: простое артиново кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над телом. Случай конечномерных алгебр, в т.ч. над алгебраически замкнутыми полями. Алгебры с 1. 

7) 20.10.2025. Связь разных понятий полупростоты. Теорема Жордана - Гёльдера (напоминание; хотя в конце концов поняли, что нам нужна теорема Шрейера, см. Ленг С. Алгебра). Композиционные ряды. Теорема Акицуки - Хопкинса - Левицкого: из артиновости следует нётеровость. Алгебраические и трансцендентные элементы. Конечные расширения полей. Сепарабельные расширения полей. Пример несепарабельного расширения. 

8) 27.10.2025. Проективные модули. Свободные модули. Тензорное произведение модулей. Сепарабельные алгебры над коммутативным кольцом с 1. Эквивалентные определения. Сепарирующий идемпотент. 

01.11.2025, 03.11.2025.

9) 10.11.2025. Сепарирующий идемпотент и его свойства. Примеры сепарабельных алгебр. Конечная порождённость как R-модулей сепарабельных R-алгебр, проективных как R-модулей, где R — коммутативное кольцо с 1. Категории и функторы. Точные последовательности.

Упражнение. Функтор Hom_A(M,−) точен слева для любого модуля M над кольцом A. Этот функтор точен, если и только если M проективен. 

10) 12.11.2025. Свойство отщепляемости и полная приводимость модуля. Функтор M↦M^{(A)}. Естественные преобразования функторов. Сепарабельность алгебры над полем влечёт полупростоту. 

11) 17.11.2025. Сепарабельность гомоморфных образов, прямых и тензорных произведений сепарабельных алгебр. Сепарабельность и расширение кольца скаляров. Сепарабельность над подкольцами. Построение алгебраически замкнутого алгебраического расширения для произвольного поля.

 12) 19.11.2025. Алгебра над полем сепарабельна, если и только если она полупроста и остаётся таковой при произвольном расширении основного поля. Теорема о примитивном элементе (без доказательства). Сепарабельные расширения как сепарабельные алгебры. Центр простой алгебры - поле. Тензорное произведение простой алгебры и центральной простой алгебры. Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (начали).

13) 24.11.2025. Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (закончили). Комплéксы. (Ко)циклы и (ко)границы. (Ко)гомологии. Когомологии Хохшильда. Связь с когомологиями групп. Группы когомологий малой размерности. Алгебры, чьи первые когомологии нулевые, - это в точности сепарабельные алгебры (доказали лемму). 

Литература: