Специальный курс "Кольца и алгебры", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2025/2026


Название осеннего семестра Ассоциативные кольца, весеннего семестра - Алгебры Ли.

Годовой спецкурс (два независимых полугодовых спецкурса) для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05,  ауд. 14-08 (главное здание МГУ), первая лекция 8 сентября 2025 года.

среда, 16:45-18:20, ауд. 405 (2-й учебный корпус), в следующие даты: 12, 19, 26 ноября и 10 декабря.

ВНИМАНИЕ! Ни 1 ноября, ни 3 ноября лекции по спецкурсу не будет.

Экзамен по задачам осеннего семестра состоится 15 декабря вместо последней лекции. 

Аннотация. Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики. В осеннем семестре спецкурс называется «Ассоциативные кольца» и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй. Весенний семестр будет посвящён алгебрам Ли. 

Благодарности: чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС. 

 1) 08.09.2025. Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.

Упражнение. Проверить равенства 0_R m = 0_M и r 0_M = 0_M, где r - произвольный элемент кольца R, а m - произвольный элемент левого R-модуля M.

Гомоморфизм колец, гомоморфизм модулей. Подмодули. Прямая сумма и прямое произведение модулей. Модули над кольцом с единицей. Присоединение к кольцу единицы. Левые, правые и двухсторонние идеалы. Факторкольцо.

Упражнение. Показать корректность определения кольца.

Теорема о гомоморфизме колец. Фактормодуль.

Упражнение. Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме модулей. 

2) 15.09.2025. Пример ненильпотентного ниль-кольца. Неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули. Аннулятор модуля. Радикал Джекобсона. Регулярные левые идеалы. Частично упорядоченные множества. Лемма Цорна. Звёздное произведение. Различные характеризации радикала Джекобсона. Радикальная группа. Левый и правый радикалы Джекобсона совпадают. 

 3) 22.09.2025. Характеризация элементов j радикала Джекобсона в кольцах с единицей в терминах обратимости элементов вида (1+rj). Радикалы Джекобсона алгебры как кольца и как алгебры совпадают. Полупростые кольца. Радикал Джекобсона идеала.

Упражнение. Сохраняется ли радикал Джекобсона при сюръективных гомоморфизмах колец?

Простое кольцо. Простое кольцо с 1 полупросто. Примеры вычисления радикала Джекобсона: кольцо всех квадратных матриц над полем, кольцо верхнетреугольных матриц. 

4) 29.09.2025. Артиновы и нётеровы кольца. Пример кольца артинова слева, но не артинова справа. Нильпотентность радикала Джекобсона в артиновых кольцах (и алгебрах). Групповые алгебры. Теорема Машке (в терминах радикала Джекобсона). Идемпотенты. Минимальный левый идеал в кольце, не содержащем ненулевых нильпотентных идеалов, порождается идемпотентом. 

5) 06.10.2025. Поднятие идемпотентов по модулю ниль-идеала. Односторонние идеалы в полупростых артиновых кольцах порождаются идемпотентами, а двухсторонние - центральными идемпотентами. Существование единицы в полупростом артиновом кольце. Прямое произведение колец. Теорема Веддербёрна - Артина: разложение полупростого артинова кольца в (конечное) прямое произведение своих минимальных идеалов, которые являются простыми артиновыми кольцами. Свойство отщепляемости для вполне приводимых модулей. 

6) 13.10.2025. Теорема плотности. Примитивные кольца. Тела. Кольцо эндоморфизмов неприводимого модуля - тело. Линейная алгебра над телами. Теорема Веддербёрна - Артина: простое артиново кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над телом. Случай конечномерных алгебр, в т.ч. над алгебраически замкнутыми полями. Алгебры с 1. 

7) 20.10.2025. Связь разных понятий полупростоты. Теорема Жордана - Гёльдера (напоминание; хотя в конце концов поняли, что нам нужна теорема Шрейера, см. Ленг С. Алгебра). Композиционные ряды. Теорема Акицуки - Хопкинса - Левицкого: из артиновости следует нётеровость. Алгебраические и трансцендентные элементы. Конечные расширения полей. Сепарабельные расширения полей. Пример несепарабельного расширения. 

01.11.2025, 03.11.2025.

Литература: